При каких значениях параметра p уравнение x^2 + 2px + p^2 - 6p + 8 = 0 будет иметь два различных отрицательных корня?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметром уравнение алгебра параметры корни отрицательные корни дискриминант решения уравнения квадратичное уравнение значения p два различных корня

Чтобы уравнение x^2 + 2px + (p^2 - 6p + 8) = 0 имело два различных отрицательных корня, необходимо выполнить несколько условий.

Шаг 1: Условия для наличия двух различных корней

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант D должен быть больше нуля. Дискриминант для данного уравнения вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 2p, c = p^2 - 6p + 8.

Подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

D = (2p)^2 - 4 * 1 * (p^2 - 6p + 8).

Упростим:

D = 4p^2 - 4(p^2 - 6p + 8).

D = 4p^2 - 4p^2 + 24p - 32.

D = 24p - 32.

Шаг 2: Условие для положительного дискриминанта

Теперь найдем при каких значениях p дискриминант больше нуля:

24p - 32 > 0.

Решим неравенство:

• 24p > 32;
• p > 32/24;
• p > 4/3.

Шаг 3: Условия для отрицательных корней

Чтобы оба корня были отрицательными, необходимо, чтобы сумма корней была отрицательной и произведение корней было положительным.

Сумма корней для квадратного уравнения x^2 + bx + c = 0 равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

В нашем случае:

• Сумма корней: -2p;
• Произведение корней: p^2 - 6p + 8.

Для того чтобы сумма корней была отрицательной, необходимо:

-2p < 0, что означает p > 0.

Для произведения корней, чтобы оно было положительным, нужно:

p^2 - 6p + 8 > 0.

Шаг 4: Решение неравенства для произведения корней

Решим неравенство p^2 - 6p + 8 > 0. Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

p^2 - 6p + 8 = 0.

Корни можно найти по формуле:

p = (6 ± √(36 - 32)) / 2 = (6 ± 2) / 2.

Корни: p1 = 4 и p2 = 2.

Теперь определим промежутки, где p^2 - 6p + 8 > 0. Это квадратное уравнение имеет вид:

• p < 2;
• 2 < p < 4;
• p > 4.

Поскольку нам нужно, чтобы произведение было положительным, то это выполняется для:

• p < 2;
• p > 4.

Шаг 5: Объединение условий

Теперь объединим условия:

• p > 4/3 (из условия на дискриминант);
• p > 4 или p < 2 (из условия на произведение).

Таким образом, окончательно мы приходим к выводу, что:

• p > 4.

Таким образом, уравнение x^2 + 2px + (p^2 - 6p + 8) = 0 будет иметь два различных отрицательных корня при условии, что p > 4.

Чтобы уравнение x^2 + 2px + (p^2 - 6p + 8) = 0 имело два различных отрицательных корня, необходимо выполнить несколько условий. Давайте разберем их по шагам!

1. Дискриминант должен быть положительным: Для того чтобы уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы дискриминант D был больше нуля. Дискриминант для нашего уравнения равен:
• D = (2p)^2 - 4 * 1 * (p^2 - 6p + 8) = 4p^2 - 4(p^2 - 6p + 8).
2. Упрощаем дискриминант:
• D = 4p^2 - 4p^2 + 24p - 32 = 24p - 32.
3. Решаем неравенство: Чтобы D > 0, решаем неравенство:
• 24p - 32 > 0,
• 24p > 32,
• p > 32/24 = 4/3.
4. Сумма корней должна быть отрицательной: Сумма корней уравнения равна -b/a = -2p. Чтобы оба корня были отрицательными, необходимо, чтобы -2p < 0, то есть p > 0.
5. Произведение корней должно быть положительным: Произведение корней равно c/a = (p^2 - 6p + 8). Это выражение должно быть больше нуля:
• p^2 - 6p + 8 > 0.
6. Находим корни этого квадратного выражения:
• D = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4,
• p1 = (6 - 2)/2 = 2,
• p2 = (6 + 2)/2 = 4.
7. Неравенство p^2 - 6p + 8 > 0: Рассматриваем промежутки:
• p < 2 или p > 4.

Теперь объединяем все условия:

• p > 4/3,
• p > 0,
• p < 2 или p > 4.

Таким образом, окончательно мы получаем, что:

• p < 2 (но p > 4/3),
• или p > 4.

Ответ: Уравнение будет иметь два различных отрицательных корня при значениях параметра p в интервале (4/3, 2) и (4, +∞).

Ура! Мы справились с задачей! Путь к знаниям всегда увлекателен и полон открытий!