Давайте разберем уравнение (a + 3 - |x + 2|)(a + x^2 + 4x) = 0 и выясним, при каких значениях параметра a оно имеет ровно три решения.

Уравнение состоит из двух множителей, и для того чтобы оно равнялось нулю, хотя бы один из множителей должен равняться нулю. То есть нам нужно рассмотреть два случая:

1. (a + 3 - |x + 2|) = 0
2. (a + x^2 + 4x) = 0

Теперь разберем каждый случай по отдельности.

Это уравнение можно переписать как:

|x + 2| = a + 3

Решение этого уравнения зависит от значения a + 3:

• Если a + 3 < 0, то уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.
• Если a + 3 = 0, то |x + 2| = 0, что дает одно решение: x = -2.
• Если a + 3 > 0, то уравнение |x + 2| = a + 3 имеет два решения:
• x + 2 = a + 3, что дает x = a + 1.
• x + 2 = -(a + 3), что дает x = -a - 5.

Это квадратное уравнение можно привести к стандартному виду:

x^2 + 4x + a = 0.

Решения этого уравнения зависят от дискриминанта D:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * a = 16 - 4a.

• Если D < 0, то уравнение не имеет решений.
• Если D = 0, то уравнение имеет одно решение.
• Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения.

Теперь подытожим, чтобы получить ровно три решения для всего уравнения:

• Если первый множитель дает 1 решение (a + 3 = 0, т.е. a = -3), а второй множитель дает 2 решения (D > 0), то всего мы имеем 3 решения.
• Если первый множитель дает 2 решения (a + 3 > 0), а второй множитель дает 1 решение (D = 0), то также всего мы имеем 3 решения.

Теперь найдем условия для D > 0 и D = 0:

16 - 4a > 0, что дает a < 4.

16 - 4a = 0, что дает a = 4.

• Для первого случая (1 решение из первого множителя и 2 решения из второго): a = -3 и a < 4.
• Для второго случая (2 решения из первого множителя и 1 решение из второго): a > -3 и a = 4.

Таким образом, при значениях параметра a = -3 и a < 4 уравнение имеет ровно три решения.