При каких значениях параметра a уравнение |x²+6x+8|=a имеет 4 корня?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметром уравнение алгебра 11 класс корни параметры значение a квадратное уравнение модуль решение уравнений Новый

Чтобы определить, при каких значениях параметра a уравнение |x² + 6x + 8| = a имеет 4 корня, начнем с анализа выражения внутри модуля.

Рассмотрим функцию f(x) = x² + 6x + 8. Это квадратное уравнение, и его можно переписать в виде:

f(x) = (x + 3)² - 1

Теперь мы видим, что парабола открывается вверх (коэффициент перед x² положительный) и имеет вершину в точке x = -3. Подставив x = -3 в уравнение, находим значение функции в этой точке:

f(-3) = (-3)² + 6*(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1

Это значит, что минимальное значение функции f(x) равно -1, и оно достигается при x = -3. Таким образом, функция f(x) принимает все значения, начиная от -1 и до бесконечности.

Теперь рассмотрим модуль: |f(x)|. Он будет равен:

• f(x), если f(x) >= 0;
• -f(x), если f(x) < 0.

Так как минимальное значение f(x) равно -1, то:

• f(x) >= 0 для x < -4 и x > -2 (где f(x) пересекает ось x);
• f(x) < 0 для -4 < x < -2.

Теперь мы можем записать два случая для уравнения |f(x)| = a:

1. Случай 1: f(x) = a
2. Случай 2: -f(x) = a

Рассмотрим первый случай:

1. Уравнение x² + 6x + (8 - a) = 0. Это квадратное уравнение имеет 2 корня, если его дискриминант D1 = b² - 4ac > 0:

D1 = 6² - 4*1*(8 - a) = 36 - 32 + 4a = 4 + 4a.

Таким образом, 4 + 4a > 0, что дает a > -1.

Теперь рассмотрим второй случай:

2. Уравнение -x² - 6x - (8 + a) = 0, или x² + 6x + (8 + a) = 0. Это уравнение также имеет 2 корня, если его дискриминант D2 > 0:

D2 = 6² - 4*1*(8 + a) = 36 - 32 - 4a = 4 - 4a.

Таким образом, 4 - 4a > 0, что дает a < 1.

Теперь мы имеем два условия:

• a > -1
• a < 1

Объединив эти два условия, мы получаем:

-1 < a < 1

Таким образом, уравнение |x² + 6x + 8| = a имеет 4 корня при значениях параметра a в интервале от -1 до 1.