При каких значениях параметра a уравнение |7-|x+4||=a будет иметь два решения?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями уравнение алгебра решения значения параметра a модуль два решения 11 класс

Давайте разберёмся с уравнением |7 - |x + 4|| = a! Это уравнение выглядит очень интересно и требует нашего внимания!

Чтобы у нас было два решения, необходимо, чтобы правая часть уравнения (a) находилась в определённых пределах. Давайте проанализируем это подробнее:

• Сначала рассмотрим внутреннее выражение |x + 4|. Это выражение всегда неотрицательно, и его значение зависит от x.
• Теперь, когда мы вычитаем это значение из 7, мы получаем |7 - |x + 4||. Это выражение также будет неотрицательным и будет равно 0, когда |x + 4| = 7.
• Решим это: |x + 4| = 7. Это даёт два случая:
1. x + 4 = 7 → x = 3
2. x + 4 = -7 → x = -11
• Таким образом, у нас есть два значения x: 3 и -11, при которых |7 - |x + 4|| = 0.

Теперь, чтобы уравнение |7 - |x + 4|| = a имело два решения, a должно быть больше 0 и меньше 7. Это значит:

• 0 < a < 7

Таким образом, уравнение будет иметь два решения, если параметр a находится в диапазоне от 0 до 7! Это просто потрясающе! Надеюсь, это поможет вам в решении задачи!

Чтобы определить, при каких значениях параметра a уравнение |7 - |x + 4|| = a будет иметь два решения, давайте сначала проанализируем структуру данного уравнения.

1. Начнем с внутреннего модуля: |x + 4|. Это выражение всегда неотрицательно, то есть |x + 4| ≥ 0. Таким образом, 7 - |x + 4| может принимать значения от 7 до -∞, но в силу модуля мы ограничены положительными значениями.

2. Теперь рассмотрим внешний модуль: |7 - |x + 4||. Это выражение также может принимать значения, и мы должны выяснить, при каких условиях оно будет равно a.

3. Условия для модульного уравнения:

• Если 7 - |x + 4| ≥ 0, то |7 - |x + 4|| = 7 - |x + 4|.
• Если 7 - |x + 4| < 0, то |7 - |x + 4|| = |x + 4| - 7.

4. Теперь найдем границы для значений a:

• Первый случай: 7 - |x + 4| ≥ 0.
• Это происходит, когда |x + 4| ≤ 7.
• Следовательно, -7 ≤ x + 4 ≤ 7, что приводит к -11 ≤ x ≤ 3.
• В этом случае уравнение принимает вид 7 - |x + 4| = a, и у нас будет два решения, если a находится в пределах от 0 до 7 (0 ≤ a < 7).
• Второй случай: 7 - |x + 4| < 0.
• Это происходит, когда |x + 4| > 7.
• Следовательно, x + 4 > 7 или x + 4 < -7, что приводит к x > 3 или x < -11.
• В этом случае уравнение принимает вид |x + 4| - 7 = a, и у нас будет два решения, если a > 0.

5. Объединив все условия, получаем:

• Для a < 7 уравнение имеет два решения, если 0 < a < 7.
• Для a > 0 уравнение также имеет два решения.

Таким образом, уравнение |7 - |x + 4|| = a будет иметь два решения при значениях параметра a в интервале:

0 < a < 7