Чтобы найти значения x, при которых производная функции F(x) = x^2 - 6x - 8lnx равна 0, сначала найдем саму производную этой функции.

Функция F(x) состоит из трех частей: x^2, -6x и -8lnx. Рассмотрим производные каждой из этих частей по отдельности:

• Производная от x^2 равна 2x.
• Производная от -6x равна -6.
• Производная от -8lnx равна -8/x (помним, что производная от lnx равна 1/x).

Теперь найдем производную всей функции F(x):

F'(x) = 2x - 6 - 8/x

Теперь приравняем производную к 0, чтобы найти критические точки:

2x - 6 - 8/x = 0

Для удобства избавимся от дроби, умножив все уравнение на x (при этом x не должен быть равен 0, так как в исходной функции есть логарифм):

x(2x - 6 - 8/x) = 0

Раскроем скобки:

2x^2 - 6x - 8 = 0

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -6, c = -8.
2. D = (-6)^2 - 4 * 2 * (-8) = 36 + 64 = 100.
3. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
4. Найдем корни: x = (-b ± √D) / 2a.
5. x1 = (6 + 10) / 4 = 16 / 4 = 4.
6. x2 = (6 - 10) / 4 = -4 / 4 = -1.

Однако, поскольку в функции присутствует логарифм, область определения F(x) ограничена x > 0. Следовательно, x = -1 не подходит, так как он не входит в область определения функции.

Таким образом, производная функции F(x) равна 0 при x = 4.