Решим каждое из неравенств по отдельности, начиная с первого.

Это неравенство является квадратным, и его можно анализировать с помощью дискриминанта. Дискриминант D для уравнения вида Ax^2 + Bx + C равен:

D = B^2 - 4AC

В нашем случае:

• A = 1
• B = -2(b - c)
• C = a^2

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-2(b - c))^2 - 4 * 1 * a^2 = 4(b - c)^2 - 4a^2 = 4[(b - c)^2 - a^2]

Теперь важно понять, при каких условиях это неравенство выполняется. Мы знаем, что a, b, c – стороны треугольника, и следовательно, выполняются неравенства треугольника:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

Рассмотрим выражение (b - c)^2 - a^2. Это выражение можно разложить:

(b - c)^2 - a^2 = (b - c - a)(b - c + a)

Теперь, чтобы неравенство x^2 - 2(b - c)x + a^2 > 0 выполнялось, необходимо, чтобы дискриминант D был меньше нуля:

4[(b - c)^2 - a^2] < 0, что эквивалентно (b - c)^2 < a^2.

Таким образом, неравенство выполняется, когда:

|b - c| < a.

Также рассмотрим это неравенство с помощью дискриминанта:

• A = 1
• B = a^2 + b^2 - c^2
• C = a^2b^2

Теперь находим дискриминант:

D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 * 1 * a^2b^2.

Распишем это:

D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2.

Неравенство x^2 + (a^2 + b^2 - c^2)x + a^2b^2 > 0 будет выполняться, если D < 0:

(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 < 0.

Это выражение также можно разложить как:

(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab) < 0.

Таким образом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы одно из множителей было положительным, а другое отрицательным.

В итоге, для обоих неравенств мы пришли к условиям, которые зависят от сторон треугольника:

• Для первого неравенства: |b - c| < a.
• Для второго неравенства: (a^2 + b^2 - c^2)^2 < 4a^2b^2.

Эти условия необходимо учитывать при решении неравенств.