Для решения неравенства (1/(x^2 - 7x + 12) + (x-4)/(3-x)) * √(6x - x^2) ≤ 0 мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем каждую часть неравенства.

1. **Анализ корня**: Начнем с выражения под корнем √(6x - x^2). Чтобы это выражение было определено, необходимо, чтобы 6x - x^2 ≥ 0. Мы можем переписать это неравенство в стандартной форме:

• 6x - x^2 = -x^2 + 6x = 0
• x^2 - 6x ≤ 0
• x(x - 6) ≤ 0

2. **Нахождение корней**: Корни этого неравенства - это x = 0 и x = 6. Теперь мы определим промежутки:

• Промежуток (-∞, 0): здесь произведение положительное.
• Промежуток (0, 6): здесь произведение отрицательное.
• Промежуток (6, +∞): здесь произведение положительное.

Таким образом, √(6x - x^2) определено и неотрицательно на промежутке [0, 6].

3. **Анализ дробей**: Теперь рассмотрим выражение (1/(x^2 - 7x + 12) + (x-4)/(3-x)). Начнем с первого дробного выражения:

• Факторизуем x^2 - 7x + 12: (x - 3)(x - 4).

Таким образом, 1/(x^2 - 7x + 12) не определено в точках x = 3 и x = 4.

Теперь рассмотрим второе дробное выражение (x - 4)/(3 - x). Здесь важно заметить, что оно не определено, когда x = 3.

4. **Объединение условий**: Теперь нам нужно объединить все найденные условия:

• √(6x - x^2) определено на [0, 6].
• 1/(x^2 - 7x + 12) не определено в x = 3 и x = 4.
• (x - 4)/(3 - x) не определено в x = 3.

Таким образом, мы рассматриваем промежутки [0, 3) и (3, 4) и (4, 6].

5. **Определение знака выражения**: Теперь нам нужно определить знак выражения (1/(x^2 - 7x + 12) + (x - 4)/(3 - x)) на этих промежутках.

• На промежутке [0, 3):
• 1/(x^2 - 7x + 12) > 0 (так как выражение положительное).
• (x - 4)/(3 - x) < 0 (так как x < 4 и 3 - x > 0).
• Сумма положительного и отрицательного выражения будет отрицательной.
• На промежутке (3, 4):
• 1/(x^2 - 7x + 12) > 0.
• (x - 4)/(3 - x) < 0.
• Сумма также будет отрицательной.
• На промежутке (4, 6]:
• 1/(x^2 - 7x + 12) < 0 (так как x > 4).
• (x - 4)/(3 - x) < 0.
• Сумма будет положительной.

6. **Итог**: Теперь мы можем подвести итог. Неравенство (1/(x^2 - 7x + 12) + (x - 4)/(3 - x)) * √(6x - x^2) ≤ 0 выполняется на промежутках:

• [0, 3) и (3, 4).

Таким образом, окончательный ответ: