Для решения неравенства 3x(5x + 12x) - (6x - 1)(6x + 10) > 10x, начнем с упрощения левой части неравенства.

Шаг 1: Упростим левую часть неравенства.

Сначала упростим выражение 3x(5x + 12x):

• 5x + 12x = 17x
• 3x * 17x = 51x^2

Теперь у нас есть первый член: 51x^2.

Теперь упростим второе выражение (6x - 1)(6x + 10):

• Применим формулу разности квадратов:
• (6x - 1)(6x + 10) = 6x * 6x + 10 * 6x - 1 * 6x - 1 * 10
• Это равно 36x^2 + 60x - 6x - 10 = 36x^2 + 54x - 10.

Теперь подставим эти упрощения в неравенство:

51x^2 - (36x^2 + 54x - 10) > 10x.

Шаг 2: Упростим неравенство.

Раскроем скобки:

51x^2 - 36x^2 - 54x + 10 > 10x.

Теперь объединим подобные члены:

• 51x^2 - 36x^2 = 15x^2
• -54x - 10x = -64x

Таким образом, у нас получается:

15x^2 - 64x + 10 > 0.

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.

Для этого используем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 * 15 * 10 = 4096 - 600 = 3496.

Теперь найдем корни:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (64 ± √3496) / 30.

Сначала найдем √3496:

√3496 ≈ 59.1 (приблизительно).

Теперь подставим значения:

• x1 = (64 + 59.1) / 30 ≈ 4.1
• x2 = (64 - 59.1) / 30 ≈ 0.16

Таким образом, корни у нас примерно 4.1 и 0.16.

Шаг 4: Определим знаки выражения.

Теперь мы знаем, что квадратичная функция 15x^2 - 64x + 10 будет менять знак в корнях. Мы проверим знаки на интервалах:

• (-∞, 0.16)
• (0.16, 4.1)
• (4.1, +∞)

1. Для x < 0.16 (например, x = 0):

15(0)^2 - 64(0) + 10 = 10 > 0.

2. Для 0.16 < x < 4.1 (например, x = 1):

15(1)^2 - 64(1) + 10 = 15 - 64 + 10 = -39 < 0.

3. Для x > 4.1 (например, x = 5):

15(5)^2 - 64(5) + 10 = 375 - 320 + 10 = 65 > 0.

Шаг 5: Запишем ответ.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

x ∈ (-∞, 0.16) ∪ (4.1, +∞).