Для решения неравенства (8 - 3√7)^x ≤ (8 + 3√7)^(5/(x - 6)) начнем с анализа обеих частей неравенства.

Обозначим:

• a = 8 - 3√7
• b = 8 + 3√7

Теперь у нас есть неравенство a^x ≤ b^(5/(x - 6)).

Сначала определим, каковы значения a и b:

• 8 - 3√7 ≈ 8 - 7.94 ≈ 0.06, значит a > 0.
• 8 + 3√7 ≈ 8 + 7.94 ≈ 15.94, значит b > 0.

Так как обе основания положительные, мы можем использовать свойства неравенств. Перепишем неравенство в логарифмической форме:

Возьмем логарифм обеих сторон. Поскольку a и b положительны, и a < b, это позволит нам сохранить знак неравенства:

log(a^x) ≤ log(b^(5/(x - 6)).

Используя свойства логарифмов, получаем:

x * log(a) ≤ (5/(x - 6)) * log(b).

Теперь выразим x:

Перемножим обе стороны на (x - 6), при условии, что x - 6 > 0 (то есть x > 6). Если x < 6, мы должны будем изменить знак неравенства:

1. Для случая x > 6:

1. x * log(a) * (x - 6) ≤ 5 * log(b).

2. Для случая x < 6:

1. x * log(a) * (x - 6) ≥ 5 * log(b).

Теперь разберем оба случая по отдельности.

Случай 1: x > 6

Решим неравенство:

1. x * log(a) * (x - 6) - 5 * log(b) ≤ 0.

Это квадратное неравенство, которое нужно решить. Для этого найдем корни и исследуем знак.

Случай 2: x < 6

Аналогично, решим неравенство:

1. x * log(a) * (x - 6) - 5 * log(b) ≥ 0.

Также найдем корни и исследуем знак.

После нахождения корней и определения знаков, мы сможем объединить результаты из обоих случаев и получить окончательное решение неравенства.

Таким образом, основная идея заключается в том, чтобы преобразовать неравенство, используя логарифмы, и затем решить полученное квадратное неравенство в зависимости от условий на x.