Чтобы решить неравенство (х-1)(х+2)(х-4) < 0 методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни неравенства: Для этого приравняем левую часть к нулю:
• х - 1 = 0 → х = 1
• х + 2 = 0 → х = -2
• х - 4 = 0 → х = 4

Таким образом, корни нашего неравенства: х = -2, х = 1, х = 4.

2. Наносим корни на числовую прямую:

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы с учетом найденных корней:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, 4)
• (4, +∞)
3. Выберем тестовые точки для каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -2) можно взять х = -3
• Для интервала (-2, 1) можно взять х = 0
• Для интервала (1, 4) можно взять х = 2
• Для интервала (4, +∞) можно взять х = 5
4. Проверим знак произведения в каждом интервале:
• Для х = -3: (х-1)(х+2)(х-4) = (-3-1)(-3+2)(-3-4) = (-4)(-1)(-7) = -28 < 0 (отрицательный)
• Для х = 0: (0-1)(0+2)(0-4) = (-1)(2)(-4) = 8 > 0 (положительный)
• Для х = 2: (2-1)(2+2)(2-4) = (1)(4)(-2) = -8 < 0 (отрицательный)
• Для х = 5: (5-1)(5+2)(5-4) = (4)(7)(1) = 28 > 0 (положительный)
5. Соберем результаты:

Теперь мы знаем, что:

• (-∞, -2) — знак отрицательный
• (-2, 1) — знак положительный
• (1, 4) — знак отрицательный
• (4, +∞) — знак положительный
6. Записываем ответ: Мы ищем, где произведение меньше нуля. Это происходит в интервалах:
• (-∞, -2)
• (1, 4)

Таким образом, решение неравенства (х-1)(х+2)(х-4) < 0:

х ∈ (-∞, -2) ∪ (1, 4)