Для решения неравенства 2x² + 7x - 9 ≤ 0, начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения 2x² + 7x - 9 = 0. Это поможет нам определить границы интервалов, на которых будем исследовать знак выражения.

1. Находим дискриминант:

   Формула для дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 2, b = 7, c = -9.

   D = 7² - 4 * 2 * (-9) = 49 + 72 = 121.

2. Находим корни уравнения:

   Корни находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a).

   Подставляем значения: x₁ = (-7 + √121) / (2 * 2) и x₂ = (-7 - √121) / (2 * 2).

   √121 = 11, тогда:

   • x₁ = (-7 + 11) / 4 = 4 / 4 = 1;
   • x₂ = (-7 - 11) / 4 = -18 / 4 = -4.5.
3. Записываем корни:

   Корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -4.5.

4. Определяем интервалы:

   Корни делят числовую прямую на три интервала:

   • (-∞, -4.5);
   • [-4.5, 1];
   • (1, +∞).
5. Исследуем знак на каждом интервале:
   • Для интервала (-∞, -4.5): выбираем x = -5. Подставляем в неравенство: 2(-5)² + 7(-5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6 > 0 (знак положительный).
   • Для интервала [-4.5, 1]: выбираем x = 0. Подставляем: 2(0)² + 7(0) - 9 = -9 < 0 (знак отрицательный).
   • Для интервала (1, +∞): выбираем x = 2. Подставляем: 2(2)² + 7(2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13 > 0 (знак положительный).
6. Заключение:

   Неравенство 2x² + 7x - 9 ≤ 0 выполняется на интервале [-4.5; 1].

Таким образом, верное решение: c. [-4.5; 1].