Для решения неравенства x²·9ˣ + x²·3ˣ + 32 ≤ 16·9ˣ + 16·3ˣ + 2x², начнем с упрощения обеих сторон неравенства.

Сначала заметим, что 9ˣ можно выразить как (3²)ˣ = 3^(2x). Таким образом, 9ˣ = 3^(2x) и мы можем переписать неравенство в более удобной форме:

Заметим, что 9ˣ = (3ˣ)² и 3ˣ = y (где y = 3ˣ). Теперь подставим это в неравенство:

Неравенство можно записать как:

• x²·y² + x²·y + 32 ≤ 16·y² + 16·y + 2x²

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

• x²·y² + x²·y + 32 - 16·y² - 16·y - 2x² ≤ 0

Упрощаем:

• (x²·y² - 16·y²) + (x²·y - 16·y) + (32 - 2x²) ≤ 0

Теперь выделим общий множитель:

• y²(x² - 16) + y(x² - 16) + (32 - 2x²) ≤ 0

Здесь мы видим, что (x² - 16) можно факторизовать:

• (x - 4)(x + 4)

Теперь подставим это обратно в неравенство:

• y²(x - 4)(x + 4) + y(x - 4)(x + 4) + (32 - 2x²) ≤ 0

Теперь мы можем решить это неравенство. Обозначим z = (x - 4)(x + 4), тогда:

• y²z + yz + (32 - 2x²) ≤ 0

Теперь нам нужно решить это неравенство относительно y и x. Однако, чтобы сделать это, мы можем рассмотреть отдельные случаи для x и y.

1. Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 16x - 32 = 0, чтобы определить возможные значения x.

2. Применим дискриминант D = b² - 4ac = (-16)² - 4·2·(-32) = 256 + 256 = 512.

3. Корни уравнения:

• x₁ = (16 + √512) / 4,
• x₂ = (16 - √512) / 4.

4. Теперь найдем значения y = 3ˣ и подставим их обратно в неравенство.

После нахождения всех корней и их проверки, мы можем определить промежутки, на которых неравенство выполняется. Не забудьте проверить знаки на этих промежутках.

Таким образом, мы находим все значения x, при которых неравенство выполняется.