Ответ: x ≤ -3 или x ≥ 2

Объяснение:

Для решения неравенства x² + x - 6 ≥ 0, начнем с того, что сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x² + x - 6 = 0.

1. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.
2. Подставим значения a, b и c в формулу:
3. Сначала вычислим дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
4. Теперь найдем корни:
5. x1 = (-1 + √25) / (2 * 1) = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2.
6. x2 = (-1 - √25) / (2 * 1) = (-1 - 5) / 2 = -6 / 2 = -3.

Итак, корни уравнения: x1 = 2 и x2 = -3.

Теперь мы знаем, что функция x² + x - 6 меняет знак в этих точках. Чтобы определить, где неравенство выполняется, рассмотрим промежутки, которые образуются этими корнями:

• Промежуток 1: (-∞, -3)
• Промежуток 2: (-3, 2)
• Промежуток 3: (2, +∞)

Теперь проверим знак функции в каждом из этих промежутков:

1. Для промежутка (-∞, -3) возьмем, например, x = -4:
2. x² + x - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 (положительное значение).
3. Для промежутка (-3, 2) возьмем, например, x = 0:
4. x² + x - 6 = 0 + 0 - 6 = -6 (отрицательное значение).
5. Для промежутка (2, +∞) возьмем, например, x = 3:
6. x² + x - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 (положительное значение).

Теперь мы можем сделать вывод о знаках функции:

• На промежутке (-∞, -3) функция положительна.
• На промежутке (-3, 2) функция отрицательна.
• На промежутке (2, +∞) функция положительна.

Поскольку мы решаем неравенство x² + x - 6 ≥ 0, то нас интересуют те промежутки, где функция положительна или равна нулю. Это промежутки:

• x ≤ -3 (включая -3, так как неравенство включает равенство) и
• x ≥ 2 (включая 2, так как неравенство также включает равенство).

Таким образом, окончательный ответ на неравенство x² + x - 6 ≥ 0: x ≤ -3 или x ≥ 2.