Давайте разберёмся с данным неравенством:

(1,4 - √2) / ((1 + 2x)(x - 3)) < 0

Для решения этого неравенства нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Определим знак числителя и знаменателя.
• Числитель: 1,4 - √2. Поскольку √2 приблизительно равно 1,414, то 1,4 - √2 будет отрицательным числом, так как 1,4 меньше, чем 1,414.
• Знаменатель: (1 + 2x)(x - 3). Для определения знака знаменателя, нужно рассмотреть, при каких значениях x каждый из множителей меняет знак.
2. Найдём точки, в которых знаменатель обращается в ноль.
• 1 + 2x = 0, отсюда x = -0,5.
• x - 3 = 0, отсюда x = 3.
3. Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные точки (-0,5 и 3), и определим знак выражения на каждом из интервалов.
• Интервалы: x < -0,5, -0,5 < x < 3, x > 3.
4. Проверим знак выражения на каждом из интервалов.
• Для x < -0,5, например, x = -1: (1 + 2(-1))(x - 3) = (1 - 2)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 (положительный).
• Для -0,5 < x < 3, например, x = 0: (1 + 2(0))(0 - 3) = (1)(-3) = -3 (отрицательный).
• Для x > 3, например, x = 4: (1 + 2(4))(4 - 3) = (1 + 8)(1) = 9 (положительный).
5. Определим, на каких интервалах данное выражение будет отрицательным.
• Числитель всегда отрицательный, поэтому выражение будет отрицательным там, где знаменатель положительный.
• Из анализа знаков видно, что выражение отрицательно на интервале -0,5 < x < 3.

Таким образом, решение неравенства:

x ∈ (-0,5; 3).