Решите следующие неравенства: 8x - 2 < x - 1 и 2x² - x - 1 ≤ 0.

Алгебра 11 класс Неравенства неравенства алгебра 11 класс решение неравенств 8x - 2 < x - 1 2x² - x - 1 ≤ 0 математические задачи учебник по алгебре Новый

Решим каждое из данных неравенств по очереди.

Первое неравенство: 8x - 2 < x - 1

1. Сначала перенесем все слагаемые, содержащие x, в одну сторону, а свободные слагаемые - в другую. Для этого вычтем x из обеих сторон неравенства:
• 8x - x - 2 < -1
• 7x - 2 < -1
2. Теперь добавим 2 к обеим сторонам:
• 7x < 1
3. Теперь разделим обе стороны на 7 (поскольку 7 > 0, знак неравенства не изменится):
• x < 1/7

Таким образом, решение первого неравенства: x < 1/7.

Второе неравенство: 2x² - x - 1 ≤ 0

1. Решим это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения 2x² - x - 1 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
2. Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
• x1 = (1 + 3) / 4 = 1,
• x2 = (1 - 3) / 4 = -1/2.
3. Теперь мы знаем, что квадратная функция 2x² - x - 1 имеет корни x1 = 1 и x2 = -1/2. Эта функция открыта вверх (так как коэффициент при x² положителен).
4. Теперь определим знаки функции на интервалах, образованных корнями: (-∞, -1/2), (-1/2, 1) и (1, +∞).
5. Выберем тестовые точки:
• Для x = -1 (интервал (-∞, -1/2)): 2(-1)² - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительно).
• Для x = 0 (интервал (-1/2, 1)): 2(0)² - 0 - 1 = -1 (отрицательно).
• Для x = 2 (интервал (1, +∞)): 2(2)² - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 (положительно).
6. Таким образом, функция принимает значения ≤ 0 на интервале [-1/2, 1].

Решение второго неравенства: -1/2 ≤ x ≤ 1.

Теперь объединим решения обоих неравенств:

Первое неравенство дает x < 1/7, а второе -1/2 ≤ x ≤ 1. Объединив эти два результата, мы получаем:

-1/2 ≤ x < 1/7.

Это и есть окончательное решение системы неравенств.