Шестизначное число делится на 7. Если убрать его первую цифру и затем поставить ее в конец числа, будет ли новое шестизначное число также делиться на 7?

Алгебра 11 класс Делимость чисел алгебра 11 класс делимость на 7 шестизначные числа перестановка цифр свойства делимости задачи по алгебре математические доказательства Новый

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте обозначим шестизначное число как N. Пусть первая цифра этого числа равна a, а остальные пять цифр составляют число B. Таким образом, мы можем записать число N в следующем виде:

N = a * 10^5 + B

Теперь, когда мы убираем первую цифру и ставим её в конец числа, новое число M будет выглядеть так:

M = B * 10 + a

Теперь мы знаем, что число N делится на 7, то есть:

N ≡ 0 (mod 7)

Теперь давайте посмотрим, что произойдет с делимостью на 7, когда мы преобразуем N в M. Мы можем выразить M через N:

M = (N - B * 10^5) * 10 + a

Теперь упростим это выражение:

1. Подставим выражение для N:
2. M = (a * 10^5 + B - B * 10^5) * 10 + a
3. Это упрощается до:
4. M = a * 10 + a + B * (10 - 10^5)
5. Или:
6. M = a * 10 + B * (10 - 100000)

Теперь, чтобы проверить делимость M на 7, достаточно проверить, сохраняется ли остаток при делении на 7. Мы знаем, что N делится на 7, и нам нужно выяснить, сохраняется ли это свойство при преобразовании числа.

Заметим, что 10 ≡ 3 (mod 7) и 10^5 ≡ 5 (mod 7). Это значит, что:

M ≡ (a * 3 + B * (3 - 5)) (mod 7)

Упрощая это, мы получаем:

M ≡ (3a - 2B) (mod 7)

Таким образом, число M будет делиться на 7, если 3a - 2B ≡ 0 (mod 7). Это уравнение может иметь решения для определенных значений a и B, но не обязательно для всех чисел. Поэтому, в общем случае, мы не можем утверждать, что M будет делиться на 7.

Ответ: Не обязательно новое шестизначное число будет делиться на 7.