Вопрос: Как можно доказать, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30?

Алгебра 11 класс Делимость чисел алгебра 11 класс сумма степеней основание 5 делимость на 30 доказательство в алгебре Новый

Чтобы доказать, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30, рассмотрим сумму двух последовательных степеней:

S = 5^n + 5^(n+1)

Мы можем упростить это выражение:

S = 5^n + 5^(n+1) = 5^n + 5 * 5^n = 5^n (1 + 5) = 5^n * 6

Теперь нам нужно показать, что S делится на 30. Для этого разложим 30 на множители:

30 = 2 * 3 * 5

Теперь рассмотрим каждый множитель:

• 5: В нашем выражении S = 5^n * 6, очевидно, что 5^n уже содержит множитель 5 (при n ≥ 1). Если n = 0, то S = 6, что также делится на 5, так как 5^0 = 1.
• 2: В выражении 6 есть множитель 2, так как 6 = 2 * 3.
• 3: В выражении 6 также есть множитель 3, так как 6 = 2 * 3.

Таким образом, мы видим, что S содержит все необходимые множители для делимости на 30:

S = 5^n * 6 содержит множитель 5, а 6 содержит множители 2 и 3. Следовательно, S делится на 30.

Таким образом, мы доказали, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30 для любого целого n.