Сколько экстремумов имеет функция у=3х5-15х2?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции у=3х5-15х2 алгебра 11 класс анализ функции количество экстремумов Новый

Чтобы определить количество экстремумов функции y = 3x^5 - 15x^2, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции.

Первым шагом мы находим первую производную функции y по x. Используем правила дифференцирования:

y' = d(3x^5)/dx - d(15x^2)/dx.

Это дает нам:

y' = 15x^4 - 30x.

2. Приравнять производную к нулю.

Теперь мы находим критические точки, приравняв производную к нулю:

15x^4 - 30x = 0.

Для решения этого уравнения можно вынести общий множитель:

15x(x^3 - 2) = 0.

Это уравнение равно нулю, когда:

• 15x = 0, что дает x = 0;
• x^3 - 2 = 0, что дает x = корень кубический из 2 (x = 2^(1/3)).
3. Определить количество критических точек.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2^(1/3).

4. Проверить, являются ли критические точки экстремумами.

Для этого мы можем использовать вторую производную или тест первой производной. Мы можем найти вторую производную:

y'' = d(15x^4 - 30x)/dx = 60x^3 - 30.

Теперь подставляем критические точки:

• Для x = 0: y''(0) = 60(0)^3 - 30 = -30 (меньше 0, значит, это максимум);
• Для x = 2^(1/3): подставив это значение, мы можем определить знак второй производной.

Таким образом, функция имеет два экстремума: один максимум и один минимум.

Ответ: Функция имеет 2 экстремума.