Сколько решений уравнения на интервале [-π; 2π]:

5sin^2(2x) + sin^2(x) = 1

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение решения интервал алгебра 11 класс Тригонометрия синус математический анализ Новый

Для того чтобы найти количество решений уравнения 5sin^2(2x) + sin^2(x) = 1 на интервале [-π; 2π], начнем с преобразования уравнения.

1. Обратите внимание, что sin(2x) можно выразить через sin(x) с помощью формулы двойного угла:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Таким образом, sin^2(2x) можно записать как:

• sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).

2. Подставим это выражение в уравнение:

• 5 * 4sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

3. Упростим уравнение:

• 20sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

4. Вынесем sin^2(x) за скобки:

• sin^2(x)(20cos^2(x) + 1) = 1.

5. Теперь рассмотрим два случая:

• Случай 1: sin^2(x) = 0.
• Случай 2: 20cos^2(x) + 1 = 1.

6. Для первого случая sin^2(x) = 0:

• Это происходит, когда sin(x) = 0, что дает x = kπ, где k - целое число.
• На интервале [-π; 2π] решения: x = -π, 0, π, 2π. Всего 4 решения.

7. Для второго случая 20cos^2(x) + 1 = 1:

• 20cos^2(x) = 0.
• Это означает, что cos^2(x) = 0, что приводит к cos(x) = 0.
• Решения: x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.
• На интервале [-π; 2π] решения: x = -π/2, π/2, 3π/2. Всего 3 решения.

8. Теперь сложим все найденные решения:

• Из первого случая: 4 решения.
• Из второго случая: 3 решения.

Итак, общее количество решений уравнения на интервале [-π; 2π] составляет 7 решений.