Для решения неравенства x(5 - x)/(x - 3) ^ 2 >= 0, давайте разберем его по шагам.

Сначала необходимо определить, при каких значениях x выражение будет равно нулю или неопределено.

• Числитель: x(5 - x) = 0
• Решим уравнение: x = 0 или 5 - x = 0, что дает x = 5.
• Таким образом, нули числителя: x = 0 и x = 5.

• Знаменатель: (x - 3) ^ 2 = 0
• Решим уравнение: x - 3 = 0, что дает x = 3.
• Знаменатель равен нулю при x = 3, поэтому в этом месте выражение не определено.

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные значения: 0, 3 и 5.

• Интервал 1: (-∞, 0)
• Интервал 2: (0, 3)
• Интервал 3: (3, 5)
• Интервал 4: (5, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение.

1. Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1.
• x(5 - x)/(x - 3)^2 = (-1)(5 - (-1))/(-1 - 3)^2 = (-1)(6)/(16) < 0.
2. Для интервала (0, 3): выберем x = 1.
• x(5 - x)/(x - 3)^2 = (1)(5 - 1)/(1 - 3)^2 = (1)(4)/(4) > 0.
3. Для интервала (3, 5): выберем x = 4.
• x(5 - x)/(x - 3)^2 = (4)(5 - 4)/(4 - 3)^2 = (4)(1)/(1) > 0.
4. Для интервала (5, +∞): выберем x = 6.
• x(5 - x)/(x - 3)^2 = (6)(5 - 6)/(6 - 3)^2 = (6)(-1)/(9) < 0.

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, 0) выражение отрицательно;
• На интервале (0, 3) выражение положительно;
• На интервале (3, 5) выражение положительно;
• На интервале (5, +∞) выражение отрицательно.

Также нужно учесть, что в точке x = 3 выражение не определено, а в точках x = 0 и x = 5 выражение равно нулю.

x(5 - x)/(x - 3) ^ 2 >= 0 при x ∈ [0, 3) ∪ (3, 5].