Похожие вопросы
2025-08-29 10:22:50
Сумма первых n членов последовательности равна 4 в степени n минус 1. Какой номер члена равен 192?
Пожалуйста, приведите решение.
Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия алгебра 11 класс сумма первых n членов последовательность 4 в степени n номер члена равен 192 решение задачи
2025-08-29 10:23:17
Давайте разберем задачу по шагам. У нас есть последовательность, сумма первых n членов которой равна 4 в степени n минус 1. То есть:
S(n) = 4^n - 1
Мы хотим найти номер члена, который равен 192. Для этого сначала найдем, сколько членов нужно, чтобы сумма достигла значения, при котором один из членов равен 192.
Сначала найдем формулу для n-го члена последовательности. Мы знаем, что n-й член можно выразить через сумму:
a(n) = S(n) - S(n-1)
Теперь подставим выражения для S(n) и S(n-1):
S(n-1) = 4^(n-1) - 1
Теперь подставим эти значения в формулу для n-го члена:
a(n) = (4^n - 1) - (4^(n-1) - 1)
Упростим это выражение:
a(n) = 4^n - 1 - 4^(n-1) + 1
Сокращаем:
a(n) = 4^n - 4^(n-1)
Теперь вынесем общий множитель:
a(n) = 4^(n-1) * (4 - 1)
Таким образом, мы получаем:
a(n) = 3 * 4^(n-1)
Теперь нам нужно найти такое n, при котором a(n) равно 192:
3 * 4^(n-1) = 192
Разделим обе стороны на 3:
4^(n-1) = 64
Теперь заметим, что 64 можно выразить как 4 в степени 3:
64 = 4^3
Таким образом, у нас есть:
4^(n-1) = 4^3
Так как основания равны, приравняем показатели:
n - 1 = 3
Теперь решим это уравнение:
n = 3 + 1
n = 4
Таким образом, номер члена, который равен 192, равен 4.