Сумма первых шести членов геометрической прогрессии составляет 910, а знаменатель равен 3. Какова сумма первого и пятого членов данной прогрессии?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии алгебра 11 класс задача на прогрессию сумма первого и пятого членов Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где:

• S_n - сумма первых n членов;
• a - первый член прогрессии;
• q - знаменатель прогрессии;
• n - количество членов.

В нашем случае:

• S_6 = 910;
• q = 3;
• n = 6.

Подставим известные значения в формулу:

910 = a * (1 - 3^6) / (1 - 3).

Теперь посчитаем 3^6:

3^6 = 729.

Подставим это значение в уравнение:

910 = a * (1 - 729) / (1 - 3).

Упростим уравнение:

1 - 729 = -728,

1 - 3 = -2,

Таким образом, у нас получается:

910 = a * (-728) / (-2).

Упростим дробь:

910 = a * 364.

Теперь найдем первый член a:

a = 910 / 364.

Посчитаем это значение:

a = 2.5.

Теперь мы знаем, что первый член прогрессии a = 2.5. Теперь найдем сумму первого и пятого членов прогрессии.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

a_n = a * q^(n-1).

Теперь найдем первый член (n=1):

a_1 = a * q^(1-1) = 2.5 * 3^0 = 2.5.

Теперь найдем пятый член (n=5):

a_5 = a * q^(5-1) = 2.5 * 3^4.

Сначала найдем 3^4:

3^4 = 81.

Теперь подставим это значение:

a_5 = 2.5 * 81 = 202.5.

Теперь мы можем найти сумму первого и пятого членов:

Сумма = a_1 + a_5 = 2.5 + 202.5 = 205.

Таким образом, сумма первого и пятого членов данной прогрессии составляет 205.