Похожие вопросы
2024-12-04 06:05:26
Умоляю Вас, помогите!!!! От этого зависит моя оценка!!! ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ НУЖНО!!!! Пожалуйста пожалуйста!!! Решите уравнение: 12^sinx=4^sinx*3^-sqrt3 cosx. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5П/2;4П.
Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями алгебра уравнение решение корни Тригонометрия синус косинус отрезок математика 12^sinx 4^sinx 3^-sqrt3 задачи по алгебре математический анализ
2024-12-04 06:05:47
Давайте решим уравнение 12^sin(x) = 4^sin(x) * 3^(-sqrt(3) * cos(x)). Для начала упростим выражения, чтобы легче было работать с ними.
Шаг 1: Приведем все выражения к одной базе.
Мы можем выразить числа в степени через их множители:
- 12 = 4 * 3
- 4 = 2^2
- 3 = 3^1
Таким образом, можно переписать 12^sin(x) как (4 * 3)^sin(x) = 4^sin(x) * 3^sin(x).
Теперь у нас есть:
4^sin(x) * 3^sin(x) = 4^sin(x) * 3^(-sqrt(3) * cos(x)).
Шаг 2: Упростим уравнение.
Разделим обе стороны на 4^sin(x), при условии, что 4^sin(x) не равно нулю (это верно, так как sin(x) - это любое действительное число):
3^sin(x) = 3^(-sqrt(3) * cos(x)).
Шаг 3: Применим логарифмы.
Так как базы одинаковые, мы можем приравнять показатели:
sin(x) = -sqrt(3) * cos(x).
Шаг 4: Перепишем уравнение.
Перепишем это уравнение в более удобной форме:
sin(x) + sqrt(3) * cos(x) = 0.
Шаг 5: Используем тригонометрическую идентичность.
Мы можем выразить это уравнение через одну функцию. Делим обе стороны на cos(x):
tan(x) + sqrt(3) = 0.
Следовательно:
tan(x) = -sqrt(3).
Шаг 6: Находим общие решения.
Зная, что tan(x) = -sqrt(3), мы можем найти углы, где это происходит. Угол, при котором тангенс равен -sqrt(3), это:
- x = -π/3 + πk, где k - любое целое число.
Однако, нам нужно найти корни в заданном диапазоне: от 5π/2 до 4π.
Шаг 7: Найдем конкретные корни в диапазоне.
Теперь подставим значения k:
- Для k = 0: x = -π/3 (это не подходит, так как меньше 5π/2).
- Для k = 1: x = -π/3 + π = 2π/3 (это также не подходит).
- Для k = 2: x = -π/3 + 2π = 5π/3 (это не подходит).
- Для k = 3: x = -π/3 + 3π = 8π/3 (это больше 4π, не подходит).
- Для k = 4: x = -π/3 + 4π = 11π/3 (это также больше 4π).
Таким образом, мы можем продолжать подставлять значения k и проверять, попадает ли результат в наш диапазон:
- Для k = 5: x = -π/3 + 5π = 14π/3 (это больше 4π).
Мы видим, что в диапазоне от 5π/2 до 4π нет решений, так как все найденные корни выходят за пределы заданного отрезка.
Ответ: Уравнение не имеет корней на отрезке от 5π/2 до 4π.
