Давайте решим каждое из представленных неравенств по шагам.

a) x² + 2x - 48 < 0

1. Сначала найдем корни уравнения x² + 2x - 48 = 0, используя дискриминант: D = b² - 4ac = 2² - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196.
2. Корни: x1 = (-b + √D)/2a = (-2 + 14)/2 = 6 и x2 = (-b - √D)/2a = (-2 - 14)/2 = -8.
3. Теперь определим интервалы: (-∞, -8), (-8, 6), (6, ∞).
4. Проверим знак на каждом интервале. Например, для интервала (-∞, -8) возьмем x = -9: (-9)² + 2*(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0.
5. Для (-8, 6) возьмем x = 0: 0² + 2*0 - 48 = -48 < 0.
6. Для (6, ∞) возьмем x = 7: 7² + 2*7 - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0.
7. Таким образом, решение неравенства: (-8, 6).

д) 4x² - 12x + 9 > 0

1. Находим дискриминант: D = (-12)² - 4*4*9 = 144 - 144 = 0.
2. Корень: x = 12/(2*4) = 1.5.
3. Функция 4x² - 12x + 9 - это парабола, которая открыта вверх и имеет один корень. Она положительна на интервалах: (-∞, 1.5) и (1.5, ∞).
4. Поскольку мы ищем, где больше нуля, решение: x < 1.5 или x > 1.5, то есть (-∞, 1.5) U (1.5, ∞).

6) 2x² - 7x + 6 > 0

1. Находим дискриминант: D = (-7)² - 4*2*6 = 49 - 48 = 1.
2. Корни: x1 = (7 + 1)/4 = 2 и x2 = (7 - 1)/4 = 1.5.
3. Интервалы: (-∞, 1.5), (1.5, 2), (2, ∞).
4. Проверяем знаки: для (-∞, 1.5) возьмем x = 1: 2*1² - 7*1 + 6 = 1 > 0.
5. Для (1.5, 2) возьмем x = 1.75: 2*1.75² - 7*1.75 + 6 = -0.125 < 0.
6. Для (2, ∞) возьмем x = 3: 2*3² - 7*3 + 6 = 3 > 0.
7. Решение: (-∞, 1.5) U (2, ∞).

e) 25x² + 30x + 9 < 0

1. Находим дискриминант: D = 30² - 4*25*9 = 900 - 900 = 0.
2. Корень: x = -30/(2*25) = -0.6.
3. Парабола открыта вверх, поэтому она меньше нуля только в точке x = -0.6.
4. Решение: { -0.6 }.

в) -x² + 2x + 15 < 0

1. Находим дискриминант: D = 2² - 4*(-1)*15 = 4 + 60 = 64.
2. Корни: x1 = (2 + 8)/(-2) = -5 и x2 = (2 - 8)/(-2) = 3.
3. Интервалы: (-∞, -5), (-5, 3), (3, ∞).
4. Проверяем знаки: для (-∞, -5) возьмем x = -6: -(-6)² + 2*(-6) + 15 = 3 > 0.
5. Для (-5, 3) возьмем x = 0: -0² + 2*0 + 15 = 15 > 0.
6. Для (3, ∞) возьмем x = 4: -4² + 2*4 + 15 = -1 < 0.
7. Решение: (-5, 3).

ж) -10x² + 9x > 0

1. Находим корни: -10x² + 9x = 0, x(-10x + 9) = 0, корни: x = 0 и x = 0.9.
2. Интервалы: (-∞, 0), (0, 0.9), (0.9, ∞).
3. Проверяем знаки: для (-∞, 0) возьмем x = -1: -10*(-1)² + 9*(-1) = -1 < 0.
4. Для (0, 0.9) возьмем x = 0.5: -10*(0.5)² + 9*0.5 = 2.5 > 0.
5. Для (0.9, ∞) возьмем x = 1: -10*1² + 9*1 = -1 < 0.
6. Решение: (0, 0.9).

г) -5x² + 11x - 6 > 0

1. Находим дискриминант: D = 11² - 4*(-5)*(-6) = 121 - 120 = 1.
2. Корни: x1 = (11 + 1)/10 = 1.2 и x2 = (11 - 1)/10 = 1.
3. Интервалы: (-∞, 1), (1, 1.2), (1.2, ∞).
4. Проверяем знаки: для (-∞, 1) возьмем x = 0: -5*0² + 11*0 - 6 = -6 < 0.
5. Для (1, 1.2) возьмем x = 1.1: -5*(1.1)² + 11*1.1 - 6 = 0.5 > 0.
6. Для (1.2, ∞) возьмем x = 1.3: -5*(1.3)² + 11*1.3 - 6 = -0.5 < 0.
7. Решение: (1, 1.2).

3) -2x² + 7x < 0

1. Находим корни: -2x² + 7x = 0, x(-2x + 7) = 0, корни: x = 0 и x = 3.5.
2. Интервалы: (-∞, 0), (0, 3.5), (3.5, ∞).
3. Проверяем знаки: для (-∞, 0) возьмем x = -1: -2*(-1)² + 7*(-1) = -5 < 0.
4. Для (0, 3.5) возьмем x = 1: -2*1² + 7*1 = 5 > 0.
5. Для (3.5, ∞) возьмем x = 4: -2*4² + 7*4 = -2 < 0.
6. Решение: (0, 3.5).

Таким образом, мы нашли решения для всех неравенств. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!