Чтобы упростить данное выражение, начнем с каждого отдельного слагаемого. Мы будем использовать свойства тригонометрических функций и их периодичность.

1. Первое слагаемое: cos^2((α + π)/2)

   Используем формулу: cos(x + π) = -cos(x). Таким образом:

   • cos((α + π)/2) = -sin(α/2)

   Следовательно:

   • cos^2((α + π)/2) = sin^2(α/2)
2. Второе слагаемое: cos^2((3π - α)/2)

   Здесь используем свойство: cos(π - x) = -cos(x). Таким образом:

   • cos((3π - α)/2) = -sin(α/2)

   Следовательно:

   • cos^2((3π - α)/2) = sin^2(α/2)
3. Третье слагаемое: cos^2((4π + α)/2)

   Здесь используем периодичность косинуса: cos(x + 2π) = cos(x). Таким образом:

   • cos((4π + α)/2) = cos(α/2)

   Следовательно:

   • cos^2((4π + α)/2) = cos^2(α/2)
4. Четвертое слагаемое: cos^2(6π/3)

   Упрощаем: 6π/3 = 2π, и знаем, что cos(2π) = 1. Таким образом:

   • cos^2(6π/3) = 1^2 = 1

Теперь подставим все найденные значения обратно в исходное выражение:

sin^2(α/2) + sin^2(α/2) + cos^2(α/2) + 1

Сложим подобные слагаемые:

• 2sin^2(α/2) + cos^2(α/2) + 1

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Таким образом:

• 2sin^2(α/2) + (1 - sin^2(α/2)) + 1 = 2sin^2(α/2) + 1 - sin^2(α/2) + 1 = sin^2(α/2) + 2

Итак, в итоге мы получаем: