Давайте упростим каждое из данных выражений по очереди.

a) cos² α - cos⁴ α + sin⁴ α

• Первое, что мы можем сделать, это заметить, что sin² α + cos² α = 1. Следовательно, sin⁴ α = (sin² α)² = (1 - cos² α)².
• Раскроем скобки: sin⁴ α = 1 - 2cos² α + cos⁴ α.
• Подставим это в исходное выражение: cos² α - cos⁴ α + (1 - 2cos² α + cos⁴ α).
• Упростим: cos² α - cos⁴ α + 1 - 2cos² α + cos⁴ α = 1 - cos² α.
• Таким образом, итоговый ответ: 1 - cos² α = sin² α.

б) (1 - 2 cos² β) / (cos β + sin β)

• В числителе у нас 1 - 2cos² β. Мы можем использовать тождество sin² β = 1 - cos² β, чтобы выразить это через синусы.
• Заметим, что 1 - 2cos² β = sin² β - cos² β.
• Теперь у нас выражение: (sin² β - cos² β) / (cos β + sin β).
• Это можно упростить, разложив на множители: (sin β - cos β)(sin β + cos β) / (cos β + sin β).
• Сократим (cos β + sin β): sin β - cos β.
• Итак, итоговый ответ: sin β - cos β.

в) (sin² α + tg² α sin² α) ctg α

• Начнем с tg² α = sin² α / cos² α и ctg α = cos α / sin α.
• Подставим tg² α в выражение: (sin² α + (sin² α / cos² α) sin² α) * (cos α / sin α).
• Упростим числитель: sin² α + sin⁴ α / cos² α = (sin² α * cos² α + sin⁴ α) / cos² α.
• Теперь у нас: [(sin² α * cos² α + sin⁴ α) / cos² α] * (cos α / sin α).
• Сократим cos² α: (sin² α + sin⁴ α / cos² α) * (1 / sin α).
• Итак, итоговый ответ: (sin² α + sin⁴ α / cos² α) / sin α.

г) (sin² t - 1) / cos⁴ t + tg² t

• В числителе у нас sin² t - 1, что равно -cos² t (по тождеству sin² t + cos² t = 1).
• Таким образом, выражение принимает вид: -cos² t / cos⁴ t + tg² t.
• Преобразуем: -1 / cos² t + tg² t = -sec² t + tg² t.
• Так как tg² t = sin² t / cos² t, мы можем выразить tg² t через sec² t: tg² t = sec² t - 1.
• Заменим tg² t: -sec² t + (sec² t - 1) = -1.
• Итак, итоговый ответ: -1.

Таким образом, мы упростили все выражения:

• a) sin² α
• б) sin β - cos β
• в) (sin² α + sin⁴ α / cos² α) / sin α
• г) -1