Упростите выражение cosα + cos3α, используя формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, и найдите его значение, если cosα = -1/3.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения алгебра тригонометрические функции cosα cos3α формулы преобразования значение выражения Новый

Для упрощения выражения cosα + cos3α воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение. Эта формула имеет вид:

cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

В нашем случае A = α и B = 3α. Подставим эти значения в формулу:

cosα + cos3α = 2 * cos((α + 3α)/2) * cos((α - 3α)/2)

Теперь упростим выражение:

• (α + 3α)/2 = 4α/2 = 2α
• (α - 3α)/2 = -2α/2 = -α

Таким образом, мы получаем:

cosα + cos3α = 2 * cos(2α) * cos(-α)

Поскольку cos(-α) = cosα, то выражение можно записать как:

cosα + cos3α = 2 * cos(2α) * cosα

Теперь нам необходимо найти значение этого выражения при cosα = -1/3.

Сначала найдем cos(2α) с помощью формулы:

cos(2α) = 2 * cos²(α) - 1

Подставим значение cosα:

cos(2α) = 2 * (-1/3)² - 1 = 2 * (1/9) - 1 = 2/9 - 1 = 2/9 - 9/9 = -7/9

Теперь подставим найденные значения в выражение:

cosα + cos3α = 2 * cos(2α) * cosα = 2 * (-7/9) * (-1/3)

Упростим это выражение:

cosα + cos3α = 2 * (7/9) * (1/3) = 14/27

Итак, значение выражения cosα + cos3α при cosα = -1/3 равно 14/27.