Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а второй член как b. Поскольку это геометрическая прогрессия, мы знаем, что второй член можно выразить через первый и знаменатель прогрессии r:

• b = a * r

Согласно условию задачи, первый член превышает второй на 12:

• a - b = 12

Подставим b в это уравнение:

• a - a * r = 12

Это можно упростить:

• a(1 - r) = 12

Теперь, согласно условию задачи, сумма всех членов прогрессии равна 27. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• S = a / (1 - r)

Где S - сумма, a - первый член, r - знаменатель прогрессии. Подставим значение суммы:

• a / (1 - r) = 27

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. a(1 - r) = 12
2. a / (1 - r) = 27

Из первого уравнения выразим a:

• a = 12 / (1 - r)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

• (12 / (1 - r)) / (1 - r) = 27

Упростим это уравнение:

• 12 / (1 - r)^2 = 27

Умножим обе стороны на (1 - r)^2:

• 12 = 27(1 - r)^2

Теперь раскроем скобки:

• 12 = 27(1 - 2r + r^2)

Упрощаем уравнение:

• 12 = 27 - 54r + 27r^2

Переносим все в одну сторону:

• 27r^2 - 54r + 15 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 * 27 * 15
• D = 2916 - 1620 = 1296

Теперь найдем корни уравнения:

• r = (54 ± √1296) / (2 * 27)
• √1296 = 36, значит:
• r1 = (54 + 36) / 54 = 90 / 54 = 5/3 (не подходит, т.к. прогрессия убывающая)
• r2 = (54 - 36) / 54 = 18 / 54 = 1/3

Теперь подставим r = 1/3 в выражение для a:

• a = 12 / (1 - 1/3) = 12 / (2/3) = 12 * (3/2) = 18

Теперь можем найти третий член геометрической прогрессии:

• Третий член c = a * r^2 = 18 * (1/3)^2 = 18 * 1/9 = 2.

Таким образом, третий член прогрессии равен 2. Ответ: B) 2.