В геометрической прогрессии bn с положительными членами известно произведение седьмого и двадцатого членов Р. Как можно определить произведение второго, шестнадцатого, семнадцатого и девятнадцатого членов этой прогрессии?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия произведение членов алгебра 11 класс седьмой член двадцатый член второй член шестнадцатый член семнадцатый член девятнадцатый член Новый

Для решения данной задачи начнем с определения общего члена геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как b1, а знаменатель прогрессии как q. Тогда n-ый член геометрической прогрессии можно выразить следующим образом:

bn = b1 * q^(n-1)

Теперь, зная, что произведение седьмого и двадцатого членов равно Р, мы можем записать это в виде:

b7 * b20 = Р

Подставим выражения для b7 и b20:

(b1 * q^(7-1)) * (b1 * q^(20-1)) = Р

Это упростится до:

b1^2 * q^(6 + 19) = Р

То есть:

b1^2 * q^25 = Р

Теперь, чтобы найти произведение второго, шестнадцатого, семнадцатого и девятнадцатого членов, запишем его в виде:

b2 * b16 * b17 * b19

Подставим значения для этих членов:

(b1 * q^(2-1)) * (b1 * q^(16-1)) * (b1 * q^(17-1)) * (b1 * q^(19-1))

Это можно упростить до:

b1^4 * q^(1 + 15 + 16 + 18)

Сложим степени:

b1^4 * q^(50)

Теперь, чтобы выразить b1^4 * q^(50) через Р, заметим, что мы можем выразить b1^2 из первого уравнения:

b1^2 = Р / q^25

Теперь возведем это в квадрат:

b1^4 = (Р / q^25)^2 = Р^2 / q^50

Теперь подставим это значение в произведение второго, шестнадцатого, семнадцатого и девятнадцатого членов:

b2 * b16 * b17 * b19 = (Р^2 / q^50) * q^50

Таким образом, мы получаем:

b2 * b16 * b17 * b19 = Р^2

В итоге, произведение второго, шестнадцатого, семнадцатого и девятнадцатого членов геометрической прогрессии равно Р^2.