В геометрической прогрессии (ГП) сумма первых двух членов составляет 108, а сумма первых трех равна 117. Сколько членов этой прогрессии больше 1?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов алгебра 11 класс задача на прогрессию члены прогрессии больше 1 Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Из условия задачи мы знаем следующее:

• Сумма первых двух членов: a + aq = 108
• Сумма первых трех членов: a + aq + aq^2 = 117

Теперь мы можем выразить сумму первых двух членов через a:

1. Сумма первых двух членов:

a(1 + q) = 108

Теперь выразим a:

a = 108 / (1 + q)

Теперь подставим a в уравнение суммы первых трех членов:

2. Сумма первых трех членов:

108 / (1 + q) * (1 + q + q^2) = 117

Упростим это уравнение:

108 * (1 + q + q^2) = 117 * (1 + q)

Раскроем скобки:

108 + 108q + 108q^2 = 117 + 117q

Теперь перенесем все в одну сторону:

108q^2 + 108q + 108 - 117q - 117 = 0

108q^2 - 9q - 9 = 0

Теперь упростим это уравнение, разделив все коэффициенты на 9:

12q^2 - q - 1 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 12 * (-1) = 1 + 48 = 49

Теперь найдем корни уравнения:

q1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± 7) / 24

Таким образом, получаем два значения для q:

• q1 = (1 + 7) / 24 = 8 / 24 = 1/3
• q2 = (1 - 7) / 24 = -6 / 24 = -1/4

Теперь найдем значение a для каждого из q:

Для q1 = 1/3:

a = 108 / (1 + 1/3) = 108 / (4/3) = 81

Для q2 = -1/4:

a = 108 / (1 - 1/4) = 108 / (3/4) = 144

Теперь мы можем найти, сколько членов прогрессии больше 1. Для этого рассмотрим оба случая:

Случай 1: q = 1/3

• Члены прогрессии: 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, ...
• Все члены больше 1: 81, 27, 9, 3
• Итого: 4 члена.

Случай 2: q = -1/4

• Члены прогрессии: 144, -36, 9, -2.25, ...
• Все члены больше 1: 144, 9
• Итого: 2 члена.

Таким образом, в зависимости от значения q, количество членов прогрессии больше 1 может быть 4 или 2.

Ответ: В геометрической прогрессии 4 члена больше 1 (при q = 1/3) и 2 члена больше 1 (при q = -1/4).