Вопрос по алгебре:

Как решить уравнение 3^x + 4^x = 5^x?

Пожалуйста, помогите мне найти значение x, предоставив подробное решение.

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями уравнение 3^x + 4^x = 5^x решение уравнения алгебра 11 класс нахождение значения x подробное решение уравнения Новый

Для решения уравнения 3^x + 4^x = 5^x, мы можем воспользоваться методом, который включает преобразование и анализ функции. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти значение x.

1. Перепишем уравнение:

   У нас есть уравнение:

   3^x + 4^x = 5^x.

2. Разделим обе части уравнения на 5^x:

   Это позволит нам упростить уравнение:

   3^x / 5^x + 4^x / 5^x = 1.

   Теперь мы можем переписать это как:

   (3/5)^x + (4/5)^x = 1.

3. Обозначим переменные:

   Пусть a = (3/5)^x и b = (4/5)^x. Тогда у нас получается:

   a + b = 1.

4. Анализ функции:

   Функции a и b являются убывающими, так как 3/5 < 1 и 4/5 < 1. Это значит, что с увеличением x значения a и b будут убывать.

   Таким образом, у нас есть убывающая функция, которая равна 1 в точке x = 0:

   (3/5)^0 + (4/5)^0 = 1 + 1 = 2.

   Когда x стремится к бесконечности, обе функции стремятся к 0:

   lim (x -> ∞) [(3/5)^x + (4/5)^x] = 0.

5. Нахождение корней:

   Поскольку функция a + b убывает от 2 до 0, по теореме о промежуточном значении, мы можем утверждать, что уравнение a + b = 1 имеет ровно одно решение в пределах (0, ∞).

   Теперь мы можем попробовать подставить некоторые значения x, чтобы найти приближенное решение.

6. Проверка значений:
   • При x = 1:

   (3/5)^1 + (4/5)^1 = 3/5 + 4/5 = 7/5 = 1.4 (больше 1)

   • При x = 2:

   (3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1 (равно 1)

   • При x = 3:

   (3/5)^3 + (4/5)^3 = 27/125 + 64/125 = 91/125 (меньше 1)

   Мы видим, что x = 2 является решением уравнения.

Ответ: Значение x, которое удовлетворяет уравнению 3^x + 4^x = 5^x, равно 2.