Вопрос: Помогите! Какова сумма различных корней уравнения sin(3x) * sin(13x) = sin(7x) * sin(9x) в интервале (-π/3; π/2)?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями сумма различных корней уравнение sin(3x) sin(13x) sin(7x) sin(9x) интервал (-π/3; π/2) алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения sin(3x) * sin(13x) = sin(7x) * sin(9x) в интервале (-π/3; π/2) мы начнем с использования тригономометических идентичностей и преобразований.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем формулу произведения синусов:

• sin(A) * sin(B) = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B).

Применим эту формулу к обеим сторонам уравнения:

• Левая часть: sin(3x) * sin(13x) = 1/2 [cos(10x) - cos(16x)]
• Правая часть: sin(7x) * sin(9x) = 1/2 [cos(2x) - cos(16x)]

Теперь уравнение можно записать как:

1/2 [cos(10x) - cos(16x)] = 1/2 [cos(2x) - cos(16x)]

Умножив обе стороны на 2 и упростив, получаем:

cos(10x) = cos(2x)

Шаг 2: Решение уравнения cos(10x) = cos(2x)

Используем свойство косинуса:

• cos(A) = cos(B) означает, что A = B + 2kπ или A = -B + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, у нас есть два случая:

1. 10x = 2x + 2kπ
2. 10x = -2x + 2kπ

Решим первый случай:

1. 10x - 2x = 2kπ
2. 8x = 2kπ
3. x = (kπ)/4

Теперь решим второй случай:

1. 10x + 2x = 2kπ
2. 12x = 2kπ
3. x = (kπ)/6

Шаг 3: Находим корни в интервале (-π/3; π/2)

Теперь подставим значения k и найдем корни:

Для x = (kπ)/4:

• k = -1: x = -π/4 (принадлежит интервалу)
• k = 0: x = 0 (принадлежит интервалу)
• k = 1: x = π/4 (принадлежит интервалу)
• k = 2: x = π/2 (не принадлежит интервалу)

Корни: -π/4, 0, π/4

Для x = (kπ)/6:

• k = -1: x = -π/6 (принадлежит интервалу)
• k = 0: x = 0 (уже найдено)
• k = 1: x = π/6 (принадлежит интервалу)
• k = 2: x = π/3 (принадлежит интервалу)

Корни: -π/6, π/6, π/3

Шаг 4: Составляем полный список корней

Теперь соберем все различные корни:

• -π/4
• -π/6
• 0
• π/4
• π/6
• π/3

Шаг 5: Находим сумму различных корней

Теперь найдем сумму всех различных корней:

Сумма = -π/4 - π/6 + 0 + π/4 + π/6 + π/3

Сложим корни по отдельности:

• (-π/4 + π/4) = 0
• (-π/6 + π/6) = 0
• π/3 = π/3

Таким образом, сумма различных корней равна π/3.

Ответ: Сумма различных корней уравнения sin(3x) * sin(13x) = sin(7x) * sin(9x) в интервале (-π/3; π/2) равна π/3.