Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графиков функций.

Для этого нужно решить уравнение:

f(x) = g(x)

Подставим функции:

x + 3 = x² + 1

Переносим все в одну сторону:

x² - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставляем значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1
2. Определить, какая функция выше в пределах найденных корней.

Для этого можно подставить любое значение из интервала [-1, 2]. Например, подставим x = 0:

f(0) = 0 + 3 = 3

g(0) = 0² + 1 = 1

Таким образом, f(0) > g(0), значит, f(x) выше g(x) на данном интервале.

3. Вычислить площадь, заключенную между графиками.

Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫[x₁, x₂] (f(x) - g(x)) dx

Подставляем наши функции и пределы:

S = ∫[-1, 2] ((x + 3) - (x² + 1)) dx

S = ∫[-1, 2] (x + 3 - x² - 1) dx

S = ∫[-1, 2] (-x² + x + 2) dx

4. Вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем первообразную функции:

F(x) = -x³/3 + x²/2 + 2x

Теперь вычислим определенный интеграл:

S = F(2) - F(-1)

Сначала находим F(2):

F(2) = -2³/3 + 2²/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6/3 = -2/3

Теперь находим F(-1):

F(-1) = -(-1)³/3 + (-1)²/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = -7/6

Теперь подставим в формулу площади:

S = (-2/3) - (-7/6) = -2/3 + 7/6

Приведем к общему знаменателю:

S = -4/6 + 7/6 = 3/6 = 1/2

5. Записать окончательный ответ.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x), равна 1/2.