Вычислить следующие значения:

1. cos (arcsin 2/9)
2. sin (arccos 3/4)
3. sin (arctg 3)
4. cos (arcctg (-2))
5. tg (arcsin 1/5)
6. ctg (arctg 6)

Алгебра 11 класс Обратные тригонометрические функции алгебра Тригонометрия вычисление значений косинус синус тангенс котангенс арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс Новый

Чтобы вычислить значения тригонометрических функций, нам нужно использовать свойства обратных тригонометрических функций и теорему Пифагора. Давайте разберем каждое выражение по порядку.

1. cos(arcsin(2/9))
   • Обозначим x = arcsin(2/9). Это значит, что sin(x) = 2/9.
   • По теореме Пифагора, cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)).
   • Вычисляем: sin^2(x) = (2/9)^2 = 4/81.
   • Теперь подставляем в формулу: cos(x) = sqrt(1 - 4/81) = sqrt(77/81) = sqrt(77)/9.
2. sin(arccos(3/4))
   • Обозначим y = arccos(3/4). Это значит, что cos(y) = 3/4.
   • По теореме Пифагора, sin(y) = sqrt(1 - cos^2(y)).
   • Вычисляем: cos^2(y) = (3/4)^2 = 9/16.
   • Теперь подставляем в формулу: sin(y) = sqrt(1 - 9/16) = sqrt(7/16) = sqrt(7)/4.
3. sin(arctg(3))
   • Обозначим z = arctg(3). Это значит, что tg(z) = 3.
   • Представим tg(z) как отношение сторон: противолежащая = 3, прилежащая = 1.
   • Находим гипотенузу: гипотенуза = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10).
   • Теперь sin(z) = противолежащая / гипотенуза = 3/sqrt(10).
4. cos(arcctg(-2))
   • Обозначим w = arcctg(-2). Это значит, что ctg(w) = -2.
   • Представим ctg(w) как отношение сторон: прилежащая = 2, противолежащая = -1.
   • Находим гипотенузу: гипотенуза = sqrt(2^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5).
   • Теперь cos(w) = прилежащая / гипотенуза = 2/sqrt(5).
5. tg(arcsin(1/5))
   • Обозначим v = arcsin(1/5). Это значит, что sin(v) = 1/5.
   • По теореме Пифагора, cos(v) = sqrt(1 - sin^2(v)).
   • Вычисляем: sin^2(v) = (1/5)^2 = 1/25.
   • Теперь cos(v) = sqrt(1 - 1/25) = sqrt(24/25) = sqrt(24)/5.
   • Теперь находим tg(v) = sin(v) / cos(v) = (1/5) / (sqrt(24)/5) = 1/sqrt(24) = sqrt(24)/24.
6. ctg(arctg(6))
   • Обозначим u = arctg(6). Это значит, что tg(u) = 6.
   • По определению ctg(u) = 1/tg(u) = 1/6.

Итак, мы вычислили все значения:

• cos(arcsin(2/9)) = sqrt(77)/9
• sin(arccos(3/4)) = sqrt(7)/4
• sin(arctg(3)) = 3/sqrt(10)
• cos(arcctg(-2)) = 2/sqrt(5)
• tg(arcsin(1/5)) = sqrt(24)/24
• ctg(arctg(6)) = 1/6