Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 4x и y = x, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых.

Для этого приравняем уравнения:

-x^2 + 4x = x

Переносим все в одну сторону:

-x^2 + 4x - x = 0

-x^2 + 3x = 0

Вынесем x за скобки:

x(-x + 3) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 0
• -x + 3 = 0 => x = 3

Итак, точки пересечения: x = 0 и x = 3.

2. Найти значения функции в точках пересечения.

Теперь подставим x = 0 и x = 3 в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y:

• Для x = 0: y = 0
• Для x = 3: y = 3

Таким образом, точки пересечения: (0, 0) и (3, 3).

3. Вычислить площадь фигуры между кривыми.

Площадь фигуры можно найти, вычислив интеграл разности функций на интервале от 0 до 3:

Площадь = ∫ от 0 до 3 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В данном случае верхней является функция y = -x^2 + 4x, а нижней y = x:

Площадь = ∫ от 0 до 3 ( (-x^2 + 4x) - x ) dx = ∫ от 0 до 3 (-x^2 + 3x) dx.

4. Вычислить интеграл.

Теперь найдем интеграл:

∫ (-x^2 + 3x) dx = -1/3 * x^3 + (3/2) * x^2 + C.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

Площадь = [-1/3 * (3^3) + (3/2) * (3^2)] - [-1/3 * (0^3) + (3/2) * (0^2)]

Площадь = [-1/3 * 27 + (3/2) * 9] - [0]

Площадь = [-9 + 13.5] = 4.5.

5. Ответ.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x и y = x, равна 4.5.