Чтобы вычислить произведение tg 1° · tg 2° · ... · tg 88° · tg 89°, давайте рассмотрим некоторые свойства тангенса и его симметрию.

Шаг 1: Использование симметрии

Обратите внимание, что тангенс имеет следующую симметрию:

• tg(90° - x) = cotg(x),
• где cotg(x) – это котангенс, который равен 1/tg(x).

Таким образом, мы можем разбить наше произведение на пары:

• tg 1° и tg 89°;
• tg 2° и tg 88°;
• tg 3° и tg 87°;
• и так далее.

Каждая пара tg x° и tg (90° - x°) дает:

tg x° · tg (90° - x°) = tg x° · cotg x° = 1.

Шаг 2: Подсчет количества пар

У нас есть 89 углов от 1° до 89°. Пары образуются следующим образом:

• tg 1° · tg 89°;
• tg 2° · tg 88°;
• tg 3° · tg 87°;
• tg 4° · tg 86°;
• tg 5° · tg 85°;
• tg 6° · tg 84°;
• tg 7° · tg 83°;
• tg 8° · tg 82°;
• tg 9° · tg 81°;
• tg 10° · tg 80°;
• tg 11° · tg 79°;
• tg 12° · tg 78°;
• tg 13° · tg 77°;
• tg 14° · tg 76°;
• tg 15° · tg 75°;
• tg 16° · tg 74°;
• tg 17° · tg 73°;
• tg 18° · tg 72°;
• tg 19° · tg 71°;
• tg 20° · tg 70°;
• tg 21° · tg 69°;
• tg 22° · tg 68°;
• tg 23° · tg 67°;
• tg 24° · tg 66°;
• tg 25° · tg 65°;
• tg 26° · tg 64°;
• tg 27° · tg 63°;
• tg 28° · tg 62°;
• tg 29° · tg 61°;
• tg 30° · tg 60°;
• tg 31° · tg 59°;
• tg 32° · tg 58°;
• tg 33° · tg 57°;
• tg 34° · tg 56°;
• tg 35° · tg 55°;
• tg 36° · tg 54°;
• tg 37° · tg 53°;
• tg 38° · tg 52°;
• tg 39° · tg 51°;
• tg 40° · tg 50°;
• tg 41° · tg 49°;
• tg 42° · tg 48°;
• tg 43° · tg 47°;
• tg 44° · tg 46°;
• tg 45°.

Количество пар составляет 44, и у нас остается один угол – 45°, для которого tg 45° = 1.

Шаг 3: Вычисление произведения

Теперь мы можем записать произведение:

(tg 1° · tg 89°) · (tg 2° · tg 88°) · ... · (tg 44° · tg 46°) · tg 45° = 1 · 1 · ... · 1 · 1 = 1.

Ответ: Произведение tg 1° · tg 2° · ... · tg 88° · tg 89° равно 1. Правильный ответ: C) 1.