Чтобы вычислить производные функции в заданной точке x0, мы будем использовать определение производной:

Определение производной: Производная функции f(x) в точке x0 определяется как предел:

f'(x0) = lim (h -> 0) (f(x0 + h) - f(x0)) / h

Теперь давайте вычислим производные для каждой из заданных функций.

1. f(x) = 3x^2 + 2x + 1, x0 = -1:
   • Находим f(-1): f(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
   • Теперь вычисляем f(-1 + h): f(-1 + h) = 3(-1 + h)^2 + 2(-1 + h) + 1.
   • Раскроем скобки: f(-1 + h) = 3(1 - 2h + h^2) - 2 + 2h + 1 = 3 - 6h + 3h^2 + 2h - 2 + 1 = 3h^2 - 4h + 2.
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(-1) = lim (h -> 0) (3h^2 - 4h + 2 - 2) / h = lim (h -> 0) (3h^2 - 4h) / h = lim (h -> 0) (3h - 4) = -4.
2. f(x) = 2x^2 - 4x - 1, x0 = 2:
   • Находим f(2): f(2) = 2(2)^2 - 4(2) - 1 = 8 - 8 - 1 = -1.
   • Вычисляем f(2 + h): f(2 + h) = 2(2 + h)^2 - 4(2 + h) - 1.
   • Раскроем скобки: f(2 + h) = 2(4 + 4h + h^2) - 8 - 4h - 1 = 8 + 8h + 2h^2 - 8 - 4h - 1 = 2h^2 + 4h - 1.
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(2) = lim (h -> 0) (2h^2 + 4h - (-1)) / h = lim (h -> 0) (2h^2 + 4h) / h = lim (h -> 0) (2h + 4) = 4.
3. f(x) = sin(2x), x0 = π/6:
   • Находим f(π/6): f(π/6) = sin(2 * π/6) = sin(π/3) = √3/2.
   • Вычисляем f(π/6 + h): f(π/6 + h) = sin(2(π/6 + h)) = sin(π/3 + 2h).
   • Используем формулу для синуса: f(π/6 + h) = sin(π/3)cos(2h) + cos(π/3)sin(2h) = (√3/2)cos(2h) + (1/2)sin(2h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(π/6) = lim (h -> 0) ((√3/2)cos(2h) + (1/2)sin(2h) - √3/2) / h.
   • При h -> 0, cos(2h) -> 1 и sin(2h) -> 0, получаем: f'(π/6) = lim (h -> 0) ((√3/2 - √3/2) + (1/2)(0)) / h = 1.
4. f(x) = cos(3x), x0 = π/12:
   • Находим f(π/12): f(π/12) = cos(3 * π/12) = cos(π/4) = √2/2.
   • Вычисляем f(π/12 + h): f(π/12 + h) = cos(3(π/12 + h)) = cos(π/4 + 3h).
   • Используем формулу для косинуса: f(π/12 + h) = cos(π/4)cos(3h) - sin(π/4)sin(3h) = (√2/2)cos(3h) - (√2/2)sin(3h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(π/12) = lim (h -> 0) ((√2/2)cos(3h) - (√2/2)sin(3h) - √2/2) / h.
   • При h -> 0, cos(3h) -> 1 и sin(3h) -> 0, получаем: f'(π/12) = lim (h -> 0) ((√2/2 - √2/2) + (√2/2)(0)) / h = -3/2.
5. f(x) = ln(x), x0 = e:
   • Находим f(e): f(e) = ln(e) = 1.
   • Вычисляем f(e + h): f(e + h) = ln(e + h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(e) = lim (h -> 0) (ln(e + h) - 1) / h.
   • Используем правило производной для логарифма: f'(e) = lim (h -> 0) (1/(e + h)) = 1/e.
6. f(x) = e^(2x), x0 = 0:
   • Находим f(0): f(0) = e^(2*0) = 1.
   • Вычисляем f(0 + h): f(0 + h) = e^(2h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(0) = lim (h -> 0) (e^(2h) - 1) / h.
   • Используем правило производной для экспоненты: f'(0) = 2.
7. f(x) = tg(3x), x0 = π:
   • Находим f(π): f(π) = tg(3π) = 0.
   • Вычисляем f(π + h): f(π + h) = tg(3(π + h)) = tg(3π + 3h) = tg(3h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(π) = lim (h -> 0) (tg(3h) - 0) / h = 3.
8. f(x) = ctg(2x), x0 = π/6:
   • Находим f(π/6): f(π/6) = ctg(2 * π/6) = ctg(π/3) = 1/√3.
   • Вычисляем f(π/6 + h): f(π/6 + h) = ctg(2(π/6 + h)) = ctg(π/3 + 2h).
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(π/6) = lim (h -> 0) (ctg(π/3 + 2h) - 1/√3) / h.
   • При h -> 0, получаем: f'(π/6) = -2.
9. f(x) = 2^x, x0 = 1:
   • Находим f(1): f(1) = 2^1 = 2.
   • Вычисляем f(1 + h): f(1 + h) = 2^(1 + h) = 2 * 2^h.
   • Теперь подставим в формулу производной: f'(1) = lim (h -> 0) (2 * 2^h - 2) / h = 2ln(2).
10. f(x) = arctg(x), x0 = 1:
    • Находим f(1): f(1) = arctg(1) = π/4.
    • Вычисляем f(1 + h): f(1 + h) = arctg(1 + h).
    • Теперь подставим в формулу производной: f'(1) = lim (h -> 0) (arctg(1 + h) - π/4) / h.
    • При h -> 0, получаем: f'(1) = 1/2.

Таким образом, мы вычислили производные для всех заданных функций в указанных точках.