Давайте поэтапно вычислим значение выражения: cos(11π/6) - sin(31π/4) + tg(8π/3) * cos(-17π/4) - sin²(-17π/6).

1. Вычислим cos(11π/6):
   • Угол 11π/6 находится в четвертой четверти.
   • cos(11π/6) = cos(2π - π/6) = cos(π/6) = √3/2.
2. Вычислим sin(31π/4):
   • Сначала упростим угол. 31π/4 = 31π/4 - 7π/2 = 31π/4 - 14π/4 = 17π/4.
   • Теперь 17π/4 = 4π + π/4. Это значит, что sin(17π/4) = sin(π/4) = √2/2.
3. Вычислим tg(8π/3):
   • Упрощаем угол: 8π/3 - 2π = 8π/3 - 6π/3 = 2π/3.
   • tg(2π/3) = -tg(π/3) = -√3.
4. Вычислим cos(-17π/4):
   • Упрощаем угол: -17π/4 + 4π = -17π/4 + 16π/4 = -π/4.
   • cos(-π/4) = cos(π/4) = √2/2.
5. Вычислим sin²(-17π/6):
   • Упрощаем угол: -17π/6 + 3π = -17π/6 + 18π/6 = π/6.
   • sin(π/6) = 1/2, следовательно, sin²(π/6) = (1/2)² = 1/4.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

cos(11π/6) - sin(31π/4) + tg(8π/3) * cos(-17π/4) - sin²(-17π/6)

= √3/2 - √2/2 + (-√3) * (√2/2) - 1/4

Теперь вычислим каждую часть:

• √3/2 - √2/2 = (√3 - √2)/2.
• (-√3) * (√2/2) = -√6/2.

Теперь у нас есть:

(√3 - √2)/2 - √6/2 - 1/4.

Приведем к общему знаменателю (4):

• (2(√3 - √2) - 2√6 - 1)/4.

Теперь подытожим числитель:

2√3 - 2√2 - 2√6 - 1.

Так как у нас нет точного значения для этого выражения, давайте подставим численные значения:

• √3 ≈ 1.732, √2 ≈ 1.414, √6 ≈ 2.449.

Теперь подставим:

2(1.732) - 2(1.414) - 2.449 - 1 = 3.464 - 2.828 - 2.449 - 1.

Это примерно равно -3.813.

Таким образом, окончательное значение выражения будет равно -2.