Чтобы определить, является ли функция y = tan(sin x) периодической, а также найти её область определения, давайте рассмотрим каждую часть вопроса по отдельности.

Функция тангенса (tan) имеет особенности, когда её аргумент равен (π/2 + kπ), где k – целое число. Это связано с тем, что тангенс не определен в этих точках, так как косинус в знаменателе равен нулю.

Теперь нам нужно выяснить, когда sin x может принимать значения, которые приводят к аргументу тангенса к этим особенностям:

• Функция sin x принимает значения в диапазоне от -1 до 1.
• Следовательно, мы должны найти, когда sin x = π/2 + kπ. Однако, поскольку sin x ограничен диапазоном [-1, 1], мы можем заключить, что значения π/2 + kπ не могут быть достигнуты.

Таким образом, область определения функции y = tan(sin x) – это все значения x, для которых sin x находится в диапазоне [-1, 1]. То есть, область определения функции y = tan(sin x) – это все действительные числа.

Теперь рассмотрим периодичность функции. Функция y = tan(sin x) будет периодической, если существует такое число T, что:

• y(x + T) = y(x) для всех x.

Функция sin x является периодической с периодом 2π, то есть sin(x + 2π) = sin x. Однако, тангенс имеет период π. Таким образом, нам нужно проверить, будет ли функция y = tan(sin x) сохранять периодичность.

Если мы подставим x + 2π в нашу функцию:

• y(x + 2π) = tan(sin(x + 2π)) = tan(sin x).

Это показывает, что функция y = tan(sin x) также имеет период 2π.

Таким образом, мы можем заключить, что функция y = tan(sin x) является периодической с периодом 2π.

• Область определения функции y = tan(sin x) – все действительные числа.
• Функция y = tan(sin x) является периодической с периодом 2π.