Похожие вопросы
2025-10-26 23:15:02
Задача 114: Решите неравенства:
- a) x^2 + 2x - 48 < 0;
- б) 2x^2 - 7x + 6 > 0;
- в) -x^2 + 2x + 15 < 0;
- г) -5x^2 + 11x - 6 > 0;
- д) 4x^2 - 12x + 9 > 0;
- е) 25x^2 + 30x + 9 < 0;
- ж) -10x^2 + 9x > 0;
- з) -2x^2 + 7x < 0.
Задача 115: Найдите множество решений неравенств:
- a) 2x^2 + 3x - 5 > 0;
- б) -6x^2 + 6x + 36 > 0;
- в) -x^2 + 5 < 0.
Алгебра 11 класс Неравенства второй степени
2025-11-03 23:11:08
Давайте решим неравенства по порядку. Я объясню каждый шаг для лучшего понимания.
Задача 114:
a) x^2 + 2x - 48 < 0;
- Сначала найдем корни уравнения x^2 + 2x - 48 = 0. Для этого используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196.
- Корни: x1 = (-2 + √196) / 2 = 6 и x2 = (-2 - √196) / 2 = -8.
- Теперь определим интервалы: (-∞, -8), (-8, 6), (6, ∞).
- Тестируем значение из каждого интервала в неравенстве. Например, для x = -9 (в первом интервале): (-9)^2 + 2*(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0.
- Для x = 0 (во втором интервале): 0^2 + 2*0 - 48 = -48 < 0.
- Для x = 7 (в третьем интервале): 7^2 + 2*7 - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0.
- Таким образом, решение: x ∈ (-8, 6).
б) 2x^2 - 7x + 6 > 0;
- Находим корни: D = (-7)^2 - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1.
- Корни: x1 = (7 + 1) / 4 = 2 и x2 = (7 - 1) / 4 = 1.5.
- Интервалы: (-∞, 1.5), (1.5, 2), (2, ∞).
- Тестируем: для x = 1 (в первом интервале): 2*1^2 - 7*1 + 6 = 2 - 7 + 6 = 1 > 0.
- Для x = 1.75 (во втором интервале): 2*1.75^2 - 7*1.75 + 6 = 6.125 - 12.25 + 6 = -0.125 < 0.
- Для x = 3 (в третьем интервале): 2*3^2 - 7*3 + 6 = 18 - 21 + 6 = 3 > 0.
- Решение: x ∈ (-∞, 1.5) ∪ (2, ∞).
в) -x^2 + 2x + 15 < 0;
- Находим корни: D = 2^2 - 4*(-1)*15 = 4 + 60 = 64.
- Корни: x1 = (2 + 8) / 2 = 5 и x2 = (2 - 8) / 2 = -3.
- Интервалы: (-∞, -3), (-3, 5), (5, ∞).
- Тестируем: для x = -4 (в первом интервале): -(-4)^2 + 2*(-4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9 < 0.
- Для x = 0 (во втором интервале): -(0)^2 + 2*0 + 15 = 15 > 0.
- Для x = 6 (в третьем интервале): -(6)^2 + 2*6 + 15 = -36 + 12 + 15 = -9 < 0.
- Решение: x ∈ (-3, 5).
г) -5x^2 + 11x - 6 > 0;
- D = 11^2 - 4*(-5)*(-6) = 121 - 120 = 1.
- Корни: x1 = (11 + 1) / 10 = 1.2 и x2 = (11 - 1) / 10 = 1.
- Интервалы: (-∞, 1), (1, 1.2), (1.2, ∞).
- Тестируем: для x = 0 (в первом интервале): -5*0^2 + 11*0 - 6 = -6 < 0.
- Для x = 1.1 (во втором интервале): -5*(1.1)^2 + 11*1.1 - 6 = -5.5 + 12.1 - 6 = 0.6 > 0.
- Для x = 2 (в третьем интервале): -5*2^2 + 11*2 - 6 = -20 + 22 - 6 = -4 < 0.
- Решение: x ∈ (1, 1.2).
д) 4x^2 - 12x + 9 > 0;
- D = (-12)^2 - 4*4*9 = 144 - 144 = 0.
- Корень: x1 = 12 / 8 = 1.5.
- Интервалы: (-∞, 1.5), (1.5, ∞).
- Тестируем: для x = 1 (в первом интервале): 4*1^2 - 12*1 + 9 = 4 - 12 + 9 = 1 > 0.
- Для x = 2 (в третьем интервале): 4*2^2 - 12*2 + 9 = 16 - 24 + 9 = 1 > 0.
- Решение: x ∈ (-∞, 1.5) ∪ (1.5, ∞).
е) 25x^2 + 30x + 9 < 0;
- D = 30^2 - 4*25*9 = 900 - 900 = 0.
- Корень: x1 = -30 / 50 = -0.6.
- Интервал: (-∞, -0.6), (-0.6, ∞).
- Тестируем: для x = -1 (в первом интервале): 25*(-1)^2 + 30*(-1) + 9 = 25 - 30 + 9 = 4 > 0.
- Для x = 0 (во втором интервале): 25*0^2 + 30*0 + 9 = 9 > 0.
- Решение: нет решений.
ж) -10x^2 + 9x > 0;
- Вынесем -1: -1(10x^2 - 9x) > 0 или 10x^2 - 9x < 0.
- D = (-9)^2 - 4*10*0 = 81.
- Корни: x1 = 0 и x2 = 0.9.
- Интервалы: (-∞, 0), (0, 0.9), (0.9, ∞).
- Тестируем: для x = -1 (в первом интервале): 10*(-1)^2 - 9*(-1) = 10 + 9 = 19 > 0.
- Для x = 0.5 (во втором интервале): 10*(0.5)^2 - 9*(0.5) = 2.5 - 4.5 = -2 < 0.
- Для x = 1 (в третьем интервале): 10*(1)^2 - 9*(1) = 10 - 9 = 1 > 0.
- Решение: x ∈ (0, 0.9).
з) -2x^2 + 7x < 0;
- Вынесем -1: -1(2x^2 - 7x) > 0 или 2x^2 - 7x > 0.
- D = (-7)^2 - 4*2*0 = 49.
- Корни: x1 = 0 и x2 = 3.5.
- Интервалы: (-∞, 0), (0, 3.5), (3.5, ∞).
- Тестируем: для x = -1 (в первом интервале): 2*(-1)^2 - 7*(-1) = 2 + 7 = 9 > 0.
- Для x = 1 (во втором интервале): 2*(1)^2 - 7*(1) = 2 - 7 = -5 < 0.
- Для x = 4 (в третьем интервале): 2*(4)^2 - 7*(4) = 32 - 28 = 4 > 0.
- Решение: x ∈ (0, 3.5).
Задача 115:
a) 2x^2 + 3x - 5 > 0;
- D = 3^2 - 4*2*(-5) = 9 + 40 = 49.
- Корни: x1 = (3 + 7) / 4 = 2.5 и x2 = (3 - 7) / 4 = -1.
- Интервалы: (-∞, -1), (-1, 2.5), (2.5, ∞).
- Тестируем: для x = -2 (в первом интервале): 2*(-2)^2 + 3*(-2) - 5 = 8 - 6 - 5 = -3 < 0.
- Для x = 0 (во втором интервале): 2*0^2 + 3*0 - 5 = -5 < 0.
- Для x = 3 (в третьем интервале): 2*3^2 + 3*3 - 5 = 18 + 9 - 5 = 22 > 0.
- Решение: x ∈ (2.5, ∞).
б) -6x^2 + 6x + 36 > 0;
- D = 6^2 - 4*(-6)*36 = 36 + 864 = 900.
- Корни: x1 = (6 + 30) / -12 = -3 и x2 = (6 - 30) / -12 = 2.
- Интервалы: (-∞, -3), (-3, 2), (2, ∞).
- Тестируем: для x = -4 (в первом интервале): -6*(-4)^2 + 6*(-4) + 36 = -96 - 24 + 36 = -84 < 0.
- Для x = 0 (во втором интервале): -6*0^2 + 6*0 + 36 = 36 > 0.
- Для x = 3 (в третьем интервале): -6*3^2 + 6*3 + 36 = -54 + 18 + 36 = 0.
- Решение: x ∈ (-3, 2).
в) -x^2 + 5 < 0;
- Переписываем: x^2 > 5.
- Корни: x1 = √5 и x2 = -√5.
- Интервалы: (-∞, -√5), (-√5, √5), (√5, ∞).
- Тестируем: для x = -3 (в первом интервале): (-3)^2 > 5 = 9 > 5.
- Для x = 0 (во втором интервале): 0^2 > 5 = 0 < 5.
- Для x = 3 (в третьем интервале): (3)^2 > 5 = 9 > 5.
- Решение: x ∈ (-∞, -√5) ∪ (√5, ∞).