Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Как можно разложить на множители выражение cos52° + cos38°?

Для разложения суммы косинусов на множители используем формулу:

cos A + cos B = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2).

В нашем случае A = 52° и B = 38°.

• Сначала найдем (A + B) / 2:
• (52° + 38°) / 2 = 90° / 2 = 45°.
• Теперь найдем (A - B) / 2:
• (52° - 38°) / 2 = 14° / 2 = 7°.

Теперь подставим эти значения в формулу:

cos52° + cos38° = 2 * cos(45°) * cos(7°).

Так как cos(45°) = sqrt(2)/2, то окончательно получаем:

cos52° + cos38° = sqrt(2) * cos(7°.

2. Каким образом упростить выражение (cos52° + cos38°) / cos7°?

Мы уже разложили cos52° + cos38° на множители:

cos52° + cos38° = sqrt(2) * cos(7°).

Теперь подставим это в наше выражение:

(cos52° + cos38°) / cos7° = (sqrt(2) * cos(7°)) / cos(7°).

При условии, что cos(7°) не равен нулю, мы можем сократить:

(sqrt(2) * cos(7°)) / cos(7°) = sqrt(2).

3. Как доказать, что выражение 2sin12°cos78° можно записать как 1 - sin66°?

Для начала воспользуемся формулой удвоенного угла:

2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B).

В нашем случае A = 12° и B = 78°.

• Сначала найдем A + B:
• 12° + 78° = 90°.
• Теперь найдем A - B:
• 12° - 78° = -66°.

Теперь подставим в формулу:

2sin12°cos78° = sin(90°) + sin(-66°).

Мы знаем, что sin(90°) = 1 и sin(-66°) = -sin(66°),поэтому:

2sin12°cos78° = 1 - sin(66°).

Таким образом, мы доказали, что 2sin12°cos78° = 1 - sin66°.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!