Зная, что tg α=3/4 и 180°< α < 270°, найдите:

1. sin2α
2. cos2α

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции алгебра 11 класс tg α=3/4 sin2α cos2α тригонометрические функции решение задач угол α свойства тригонометрии

Для решения задачи нам нужно найти значения sin(2α) и cos(2α), зная, что tg(α) = 3/4 и угол α находится в третьем квадранте (180° < α < 270°).

Шаг 1: Найдем sin(α) и cos(α).

Мы знаем, что:

• tg(α) = sin(α) / cos(α),
• tg(α) = 3/4.

Это означает, что sin(α) = 3k и cos(α) = 4k для некоторого положительного k. Поскольку угол α находится в третьем квадранте, sin(α) будет отрицательным, а cos(α) также будет отрицательным. Таким образом, мы можем записать:

• sin(α) = -3k,
• cos(α) = -4k.

Шаг 2: Используем тригонометрическую тождество для нахождения k.

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

sin²(α) + cos²(α) = 1.

Подставим наши значения:

(-3k)² + (-4k)² = 1.

Это дает:

• 9k² + 16k² = 1,
• 25k² = 1.

Отсюда мы находим:

k² = 1/25,

k = 1/5 (поскольку k должно быть положительным).

Шаг 3: Теперь подставим значение k для нахождения sin(α) и cos(α):

• sin(α) = -3(1/5) = -3/5,
• cos(α) = -4(1/5) = -4/5.

Шаг 4: Теперь найдем sin(2α) и cos(2α) с помощью двойных углов:

• sin(2α) = 2sin(α)cos(α),
• cos(2α) = cos²(α) - sin²(α).

Шаг 5: Подставим значения для sin(α) и cos(α):

• sin(2α) = 2 * (-3/5) * (-4/5) = 2 * 12/25 = 24/25,
• cos(2α) = (-4/5)² - (-3/5)² = 16/25 - 9/25 = 7/25.

Итак, окончательные ответы:

• sin(2α) = 24/25,
• cos(2α) = 7/25.

Для решения данной задачи начнем с того, что нам известна тангенс угла α, который равен 3/4. Также мы знаем, что угол α находится в третьем квадранте (180° < α < 270°). Это важно, так как в третьем квадранте синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

Сначала найдем синус и косинус угла α. Мы знаем, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

• tg α = sin α / cos α

Следовательно, из условия задачи:

• sin α = 3k
• cos α = -4k

где k - некоторый положительный множитель, который мы определим с помощью теоремы Пифагора:

• sin²α + cos²α = 1

Подставим выражения для синуса и косинуса:

• (3k)² + (-4k)² = 1
• 9k² + 16k² = 1
• 25k² = 1
• k² = 1/25
• k = 1/5

Теперь можем найти значения синуса и косинуса:

• sin α = 3k = 3 * (1/5) = 3/5
• cos α = -4k = -4 * (1/5) = -4/5

Теперь у нас есть значения синуса и косинуса угла α. Переходим к вычислению синуса и косинуса двойного угла.

Формулы для вычисления синуса и косинуса двойного угла выглядят следующим образом:

• sin 2α = 2 * sin α * cos α
• cos 2α = cos²α - sin²α

Теперь подставим найденные значения:

• sin 2α = 2 * (3/5) * (-4/5) = 2 * (-12/25) = -24/25

Теперь найдем cos 2α:

• cos 2α = (-4/5)² - (3/5)² = (16/25) - (9/25) = 7/25

Итак, мы нашли значения:

• sin 2α = -24/25
• cos 2α = 7/25

Таким образом, ответ на задачу:

• sin 2α = -24/25
• cos 2α = 7/25