При каких значениях k факториал числа n (n!) может заканчиваться ровно на k нулей? Здесь n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n−1) · n.

Подсказки:

1. Число нулей равно степени пятерки, на которую делится n!.
2. Попробуйте посчитать, какая максимальная степень пятерки входит в разложение n! для небольших n.

Алгебра 5 класс Комбинаторика факториал числа n количество нулей в факториале значение k для n! степень пятерки в n! алгебра 5 класс задача по алгебре математическая задача факториал и нули Новый

Чтобы понять, при каких значениях k факториал числа n (n!) заканчивается ровно на k нулей, давайте разберемся, как мы можем посчитать количество нулей в конце произведения.

Факториал n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Количество нулей в конце n! зависит от количества пар, состоящих из множителей 2 и 5, так как 10 = 2 * 5. Поскольку множителей 2 в факториале всегда больше, чем множителей 5, мы должны сосредоточиться на подсчете количества пятерок.

Чтобы найти, сколько раз число 5 входит в разложение n!, мы используем следующую формулу:

• Сначала делим n на 5 и берем целую часть (n // 5).
• Затем делим n на 25 и берем целую часть (n // 25).
• Продолжаем делить n на 125, 625 и так далее, пока результат не станет равен 0.

Суммируем все эти значения, чтобы получить общее количество пятерок:

Формула:

Количество нулей = (n // 5) + (n // 25) + (n // 125) + ...

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Для n = 5:
   • 5 // 5 = 1
   • 5 // 25 = 0
   Итого: 1 нуль.
2. Для n = 10:
   • 10 // 5 = 2
   • 10 // 25 = 0
   Итого: 2 нуля.
3. Для n = 15:
   • 15 // 5 = 3
   • 15 // 25 = 0
   Итого: 3 нуля.
4. Для n = 20:
   • 20 // 5 = 4
   • 20 // 25 = 0
   Итого: 4 нуля.
5. Для n = 25:
   • 25 // 5 = 5
   • 25 // 25 = 1
   Итого: 6 нулей.

Таким образом, мы видим, что количество нулей (k) в конце n! может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 в зависимости от значения n. Значения k, которые могут быть получены, зависят от n и его делимости на 5.

В общем случае, если вы хотите найти n, при котором n! заканчивается ровно на k нулей, вам нужно использовать вышеописанный метод подсчета и подбирать такие значения n, чтобы полученное количество нулей совпадало с k.