Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим трехзначное число как abc, где a, b и c - это его цифры. Тогда:

• a - сотни (может быть от 1 до 9),
• b - десятки (может быть от 0 до 9),
• c - единицы (может быть от 0 до 9).

Из условия задачи мы знаем:

1. Сумма цифр: a + b + c = 11
2. Сумма квадратов цифр: a² + b² + c² = 69
3. Если к числу abc прибавить 693, то получится число cba.

Теперь давайте разберемся с третьим условием. Если abc - это число, то cba можно записать как:

abc + 693 = cba

В числовом виде это будет:

100a + 10b + c + 693 = 100c + 10b + a

Упростим это уравнение:

• 100a + 10b + c + 693 = 100c + 10b + a
• 100a - a + c - 100c + 693 = 0
• 99a - 99c + 693 = 0
• 99a - 99c = -693
• a - c = -7
• a = c - 7

Теперь подставим a = c - 7 в первое уравнение:

(c - 7) + b + c = 11

Упростим это уравнение:

• c - 7 + b + c = 11
• 2c + b - 7 = 11
• 2c + b = 18

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1) a + b + c = 11
• 2) 2c + b = 18

Теперь выразим b из второго уравнения:

b = 18 - 2c

Подставим это значение в первое уравнение:

(c - 7) + (18 - 2c) + c = 11

Упростим:

• c - 7 + 18 - 2c + c = 11
• -2c + 11 = 11
• -2c = 0
• c = 0

Теперь подставим c = 0 обратно в уравнения:

Из a = c - 7 мы получаем:

a = 0 - 7 = -7, что невозможно, так как a не может быть отрицательным.

Попробуем другой способ, подставляя значения для c от 1 до 9 и проверяя условия:

При c = 8:

• a = 8 - 7 = 1
• b = 18 - 2*8 = 2

Таким образом, a = 1, b = 2, c = 8. Это дает нам число 128.

Теперь проверим:

• Сумма цифр: 1 + 2 + 8 = 11.
• Сумма квадратов: 1² + 2² + 8² = 1 + 4 + 64 = 69.
• Проверим третье условие: 128 + 693 = 821, что является обратным числом 128.

Таким образом, искомое трехзначное число - 128.