Чтобы найти размеры прямоугольника, когда известны его периметр и площадь, мы можем использовать следующие формулы:

• Периметр прямоугольника: P = 2 * (a + b),где a и b - длины сторон прямоугольника.
• Площадь прямоугольника: S = a * b.

В нашем случае:

• Периметр P = 30 см.
• Площадь S = 56 см².

Сначала из формулы периметра выразим одну из сторон, например b:

1. Из формулы периметра: 30 = 2 * (a + b).
2. Разделим обе стороны на 2: 15 = a + b.
3. Теперь выразим b: b = 15 - a.

Теперь подставим это значение b в формулу для площади:

1. S = a * b = 56.
2. Подставим b: a * (15 - a) = 56.
3. Раскроем скобки: 15a - a² = 56.
4. Перепишем уравнение: a² - 15a + 56 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Находим дискриминант: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -15, c = 56.
2. Подставляем значения: D = (-15)² - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

1. Находим корни: a = (15 ± √D) / 2 = (15 ± 1) / 2.
2. Первый корень: a1 = (15 + 1) / 2 = 16 / 2 = 8.
3. Второй корень: a2 = (15 - 1) / 2 = 14 / 2 = 7.

Теперь мы нашли два возможных значения для a: 8 см и 7 см. Подставим их обратно, чтобы найти соответствующие значения b:

1. Если a = 8 см, то b = 15 - 8 = 7 см.
2. Если a = 7 см, то b = 15 - 7 = 8 см.

Таким образом, размеры прямоугольника:

• Длина = 8 см, ширина = 7 см.
• Или длина = 7 см, ширина = 8 см.

Ответ: размеры прямоугольника 7 см и 8 см.