В одной денежной системе есть монеты номиналом 1 зед, 2 зеда, 5 зедов и 10 зедов (зед — это условная денежная единица). У Сергея 24 монеты, и их общая стоимость составляет 49 зедов. В связи с этим возникает вопрос: обязательно ли среди этих монет есть хотя бы одна монета номиналом 2 зеда?

Алгебра 7 класс Системы уравнений алгебра 7 класс задачи на монеты система уравнений условные денежные единицы математические задачи количество монет стоимость монет номинал монет логические задачи решение задач по алгебре Новый

Чтобы ответить на вопрос, давайте обозначим количество монет каждого номинала:

• x - количество монет номиналом 1 зед
• y - количество монет номиналом 2 зеда
• z - количество монет номиналом 5 зедов
• w - количество монет номиналом 10 зедов

Теперь мы можем записать две системы уравнений на основе данных условия:

1. Общее количество монет: x + y + z + w = 24
2. Общая стоимость монет: 1x + 2y + 5z + 10w = 49

Теперь, чтобы выяснить, обязательно ли среди монет есть хотя бы одна монета номиналом 2 зеда, попробуем рассмотреть случай, когда y = 0 (т.е. у Сергея нет монет номиналом 2 зеда).

В этом случае у нас останутся только монеты номиналом 1, 5 и 10 зедов. Запишем уравнения заново:

1. x + z + w = 24
2. x + 5z + 10w = 49

Теперь мы можем выразить x через z и w из первого уравнения:

x = 24 - z - w

Подставим это значение во второе уравнение:

(24 - z - w) + 5z + 10w = 49

Упростим уравнение:

24 - z - w + 5z + 10w = 49

4z + 9w = 25

Теперь у нас есть два новых уравнения:

1. 4z + 9w = 25
2. x + z + w = 24

Теперь попробуем найти целые неотрицательные решения для z и w. Поскольку 4z + 9w = 25, посмотрим на возможные значения w:

• Если w = 0, то 4z = 25, что не дает целого решения.
• Если w = 1, то 4z + 9 = 25, значит 4z = 16, z = 4.
• Если w = 2, то 4z + 18 = 25, значит 4z = 7, что не дает целого решения.
• Если w = 3, то 4z + 27 = 25, значит 4z = -2, что тоже не дает решения.

Таким образом, единственное целое решение, которое мы нашли, это:

• w = 1
• z = 4

Теперь подставим это значение в уравнение для x:

x = 24 - 4 - 1 = 19

Теперь у нас есть:

• 19 монет по 1 зеду
• 0 монет по 2 зеда
• 4 монеты по 5 зедов
• 1 монета по 10 зедов

Теперь проверим общую стоимость:

19 * 1 + 0 * 2 + 4 * 5 + 1 * 10 = 19 + 0 + 20 + 10 = 49 зедов.

Таким образом, мы нашли решение, где у Сергея нет монет номиналом 2 зеда, и при этом выполняются все условия задачи.

Следовательно, ответ на вопрос: нет, не обязательно, чтобы среди монет была хотя бы одна монета номиналом 2 зеда.