Чтобы решить неравенство x² + 5x - 4 ≤ 2, начнем с того, что мы можем привести неравенство к стандартному виду. Для этого вычтем 2 из обеих сторон:

x² + 5x - 4 - 2 ≤ 0

Теперь у нас получается:

x² + 5x - 6 ≤ 0

Теперь мы можем решить уравнение x² + 5x - 6 = 0, чтобы найти его корни. Для этого используем формулу дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 5, c = -6.

Подставляем значения:

D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:

x₁ = (-5 + √49) / (2 * 1) = (-5 + 7) / 2 = 2 / 2 = 1.

x₂ = (-5 - √49) / (2 * 1) = (-5 - 7) / 2 = -12 / 2 = -6.

Таким образом, корни уравнения x² + 5x - 6 = 0 это x₁ = 1 и x₂ = -6.

Теперь мы можем записать неравенство в виде:

(x + 6)(x - 1) ≤ 0

Теперь определим промежутки, на которых выражение (x + 6)(x - 1) ≤ 0. Для этого найдем знаки произведения на интервалах, образованных корнями -6 и 1:

• Интервал (-∞, -6)
• Интервал (-6, 1)
• Интервал (1, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -6): возьмем, например, x = -7.
   • (-7 + 6)(-7 - 1) = (-1)(-8) = 8 > 0.
2. Для интервала (-6, 1): возьмем, например, x = 0.
   • (0 + 6)(0 - 1) = (6)(-1) = -6 < 0.
3. Для интервала (1, +∞): возьмем, например, x = 2.
   • (2 + 6)(2 - 1) = (8)(1) = 8 > 0.

Теперь мы знаем, что неравенство (x + 6)(x - 1) ≤ 0 выполняется на интервале (-6, 1) и в точках -6 и 1 (так как мы имеем неравенство ≤).

Таким образом, окончательный ответ:

-6 ≤ x ≤ 1