Как решить неравенство

(3x+1)/(x-3)<3?

Алгебра 8 класс Неравенства неравенство алгебра 8 класс решение неравенства дробное неравенство (3x+1)/(x-3) математические задачи алгебраические выражения график неравенства анализ знаков Новый

Решение неравенства (3x+1)/(x-3) требует выполнения нескольких шагов. В данном случае мы рассматриваем неравенство в виде:

(3x + 1) / (x - 3) > 0

Для решения этого неравенства мы будем следовать следующему алгоритму:

1. Найти нули числителя и знаменателя.
   • Числитель 3x + 1 равен нулю, когда 3x + 1 = 0. Решая это уравнение, получаем:
   • 3x = -1 => x = -1/3.
   • Знаменатель x - 3 равен нулю, когда x - 3 = 0. Решая это уравнение, получаем:
   • x = 3.
2. Определить знаки дроби на интервалах.
   • Мы имеем два ключевых значения: x = -1/3 и x = 3. Эти значения разбивают числовую прямую на три интервала:
   • (-∞, -1/3), (-1/3, 3), (3, +∞).
3. Проверить знак дроби на каждом интервале.
   • Для интервала (-∞, -1/3): выберем x = -1. Подставляем в дробь:
   • (3*(-1) + 1) / (-1 - 3) = (-3 + 1) / (-4) = -2 / -4 = 1 (положительно).
   • Для интервала (-1/3, 3): выберем x = 0. Подставляем в дробь:
   • (3*0 + 1) / (0 - 3) = 1 / -3 = -1 (отрицательно).
   • Для интервала (3, +∞): выберем x = 4. Подставляем в дробь:
   • (3*4 + 1) / (4 - 3) = (12 + 1) / 1 = 13 (положительно).
4. Составить итоговое решение.
   • Мы ищем, где дробь положительна. Это происходит на интервалах:
   • (-∞, -1/3) и (3, +∞).
5. Записать ответ.
   • Ответ: x ∈ (-∞, -1/3) ∪ (3, +∞).

Таким образом, мы пришли к окончательному решению неравенства (3x + 1) / (x - 3) > 0.