Докажите, что для любого натурального n дробь (5^(2n+4) * 5^2) / (5^(4n+2)) принимает значение, являющееся натуральным числом.

Алгебра 8 класс Степени и свойства степеней алгебра 8 класс дробь натуральное число доказательство 5 в степени свойства степеней Новый

Давайте рассмотрим дробь (5^(2n+4) * 5^2) / (5^(4n+2)) и упростим её. Мы будем использовать свойства степеней.

Шаг 1: Упростим числитель

• В числителе у нас есть произведение двух степеней с основанием 5:
• 5^(2n+4) * 5^2 = 5^((2n+4) + 2) = 5^(2n + 6).

Шаг 2: Запишем дробь с упрощенным числителем

• Теперь наша дробь выглядит так:
• (5^(2n + 6)) / (5^(4n + 2)).

Шаг 3: Упростим дробь

• Мы можем использовать правило деления степеней с одинаковым основанием:
• 5^(a) / 5^(b) = 5^(a - b).
• Применим это правило:
• 5^(2n + 6 - (4n + 2)) = 5^(2n + 6 - 4n - 2) = 5^(-2n + 4).

Шаг 4: Преобразуем степень

• Теперь у нас есть 5^(-2n + 4). Мы можем переписать это как:
• 5^(4 - 2n).

Шаг 5: Условия для натурального числа

• Чтобы 5^(4 - 2n) было натуральным числом, необходимо, чтобы показатель степени (4 - 2n) был неотрицательным:
• 4 - 2n >= 0.
• Это неравенство выполняется при n <= 2.
• Однако, для любого натурального n, если n > 2, то 5^(-2n + 4) будет равным 1/(5^(2n - 4)), что также является натуральным числом, так как 5^(2n - 4) - это степень 5 и всегда будет натуральным числом.

Вывод

• Таким образом, для любого натурального n дробь (5^(2n+4) * 5^2) / (5^(4n+2)) всегда будет принимать значение, являющееся натуральным числом.