Для того чтобы доказать неравенство 2(x+1)(x-3) > (x+5)(x-7), начнем с того, что мы упростим обе части неравенства и приведем их к общему виду.

1. Раскроем скобки с обеих сторон:

• Слева: 2(x+1)(x-3)
• Раскроем скобки: 2[(x)(x) + (x)(-3) + (1)(x) + (1)(-3)] = 2[x^2 - 3x + x - 3]
• Упрощаем: 2[x^2 - 2x - 3] = 2x^2 - 4x - 6
• Справа: (x+5)(x-7)
• Раскроем скобки: (x)(x) + (x)(-7) + (5)(x) + (5)(-7) = x^2 - 7x + 5x - 35
• Упрощаем: x^2 - 2x - 35

2. Теперь подставим полученные выражения в неравенство:

3. Переносим все элементы в одну сторону:

4. Упрощаем:

5. Теперь нам нужно проанализировать выражение x^2 - 2x + 29. Это квадратный трёхчлен. Чтобы понять, при каких значениях x он положителен, найдем его дискриминант:

• Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac
• В нашем случае: a = 1, b = -2, c = 29
• D = (-2)^2 - 4*1*29 = 4 - 116 = -112

6. Поскольку дискриминант отрицательный (D < 0),это означает, что квадратный трёхчлен x^2 - 2x + 29 не имеет действительных корней и всегда положителен для любых значений x.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 2(x+1)(x-3) > (x+5)(x-7) выполняется для любого значения x.